1. NODAěA
AIZVIETOŠANAS SHĒMU VIENĀDOJUMI
Vispirms aplūkosim elektrisko ėēžu un tajās notiekošo procesu klasifikāciju. Reālās elektriskās
ėēdēs ir sastopami visdažādākie enerăijas avoti un patērētāji, enerăijas vai informācijas pārveidotāji,
mērīšanas un cita aparatūra. Atkarībā no avotu sprieguma veida izšėir līdzstrāvas, maiĦstrāvas,
trīsfāžu maiĦstrāvas u.c. ėēdes. Piemēram, elektriskajās spēkstacijās elektrisko enerăiju ražo ar
trīsfāžu maiĦstrāvas ăeneratoriem. Trīsfāžu pārvades līnijas, kurās spriegumu paaugstina un vairākkārt
pazemina ar trīsfāžu transformatoriem, enerăiju nogādā līdz patērētājiem, tajā skaitā, līdz pat
dzīvojamām ēkām. DzīvokĜos enerăija nonāk vienfāzes maiĦstrāvas formā. Līdzspriegumu, ko lieto,
piemēram, elektronikas shēmu barošanai, dažos tehnoloăiskos procesos un visur, kur nepieciešams
plašās robežās regulēt elektrodzinēju griešanās ātrumu, galvenokārt iegūst, ar pusvadītāju taisngriežu
shēmām pārveidojot vienfāzes vai trīsfāžu maiĦspriegumu. Nelielas jaudas ėēžu barošanai lieto
elektroėīmiskus līdzstrāvas avotus, piemēram, akumulatoru baterijas.
Elektriskajās ėēdēs sastopami gan nostabilizējušies jeb stacionāri režīmi, gan pārejas procesi.
Pēdējie novērojami īslaicīgi: pieslēdzot vai atslēdzot avotu vai atsevišėus ėēdes elementus.
Elektriskās ėēdes iedalās lineārās un nelineārās. Par lineāru uzskata ėēdi, kuras visu elementu
parametrus var uzdot skaitliski. Ėēde ir nelineāra, ja tajā ir kaut viens elements, kura parametrs ir
atkarīgs, piemēram, no strāvas vai sprieguma.
Aprēėinot režīmus elektriskajās ėēdēs (analīzes uzdevums) vai izveidojot ėēdes ar vēlamām
īpašībām (sintēzes uzdevums), reālo elektrisko ėēdi aizstāj ar tās matemātisko modeli, ko veido ėēdes
aizvietošanas shēma kopā ar tās vienādojumiem. Neraugoties uz reālo elektrisko ėēžu sastāva
daudzveidību, daudzus teorētiskos rezultātus var iegūt, analizējot vienkāršas aizvietošanas shēmas ar
nelielu elementu tipu skaitu. Turpmāk aplūkosim galvenokārt lineāru ėēžu aizvietošanas shēmas ar
četriem idealizētu elementu tipiem (elektrodzinējspēku e, rezistīvo elementu R, induktīvo elementu L
un kapacitīvo elementu C). Izrādās, ka ar četriem elementu tipiem ir pietiekami, lai modelētu visai
dažādus reālo ėēžu elementus līdzstrāvas, vienfāzes un trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdēs stacionāros režīmos
un pārejas procesos.
Nelielais elementu tipu skaits atĜauj jebkurai aizvietošanas shēmai ar šādiem elementiem izveidot
vienkāršu matemātisko modeli uz septiĦu pamatvienādojumu (1.1)...(1.7) bāzes. Lūk, septiĦu
pamatvienādojumu izteiksmes - fragments no priekšvārdā dotās formulu tabulas:
Vienādojumi Momentānām vērtībām
u = −e (1.1)
Elementu u = R i (1.2)
vienādojumi u = L di/dt (1.3)
i = C du/dt (1.4)
Spriegumu un u13 = u12 + u23 (1.5)
strāvu vienādojumi Σ ± i = 0 (1.6)
Divpola jauda p = u i (1.7)
Vienādojumu tabulā ir trīs atšėirīgas grupas:
• četru elementu vienādojumi (1.1)...(1.4),
• spriegumu un strāvu vienādojumi (1.5) un (1.6) - sakarības starp dažādu elementu vai
shēmas daĜu spriegumiem (strāvām),
• jaudas formula (1.7), kas nosaka ėēdes daĜas (divpola) momentāno jaudu.
Katram, kas reiz rakstījis špikeri, labi zināms, ka formulu pieejamība vēl ne tuvu negarantē to
pareizu lietošanu. Tāpēc šajā nodaĜā arī paskaidrots, kā šie pamatvienādojumi lietojami. Iepazīsimies
ar elementu un elektrisko lielumu apzīmēšanu shēmās un tekstā, aplūkosim jautājumu par zīmēm
formulās un noskaidrosim aizvietošanas shēmu topoloăijas jēdzienus. Viss tas nepieciešams, jo
elektrotehnika ir precīza (nevis tikai aprakstoša) disciplīna. Tas dos jums iespēju atšėirt pēc izskata
ticamus vienādojumus no pareizi sastādītiem, lai elektrisko ėēžu aprēėinos lietotu tikai pēdējos.
Vienādojumi (1.1)…(1.7) ir spēkā gan stacionāriem režīmiem līdzstrāvas un maiĦstrāvas ėēdēs,
gan arī pārejas procesiem. Ir pielietojumi, kad tos izmanto nepārveidotus, piemēram, pārejas procesu
aprēėinos. Taču vienmēr, kad jāaprēėina stacionāri režīmi, pamatvienādojumus vienkāršo, izveidojot tā
sauktās. inženiermetodes (piemēri: līdzstrāvas ėēdes, maiĦstrāvas ėēdes ar vektoru diagrammu metodi,
maiĦstrāvas ėēdes ar simbolisko metodi). Arī šajos trīs gadījumos vienādojumu tabulas struktūra
(elementu vienādojumi, spriegumu un strāvu vienādojumi, divpola jaudas formula) paliks bez
izmaiĦām, kaut arī paši vienādojumi var izmainīties līdz nepazīšanai.
Elektrotehnika kĜūs daudz saprotamāka, ja ievērosiet, ka tās daudzie vienādojumi ir tie paši 7
pamatvienādojumi - pārveidotā formā, bet ar tiem pašiem lietošanas noteikumiem. Tā dēvētā teorija
būtībā ir ceĜš no pamatvienādojumiem līdz inženiermetodēm. Izsekojiet šim ceĜam!
Aizvietošanas shēmu elementi
Četru idealizētu elementu (EDS, rezistīva, induktīva un kapacitīva elementa) apzīmējumi, parametri
un mērvienības parādītas tabulā (sk. zemāk).
Elementus (e, R, L vai C) shēmā un tekstā apzīmē tāpat kā to parametrus (e, R, L vai C). Ja shēmā
ir vairāki viena tipa elementi, to apzīmējumiem pievieno individuālus indeksus: R1, R2, Ri, utt.
EDS (elektrodzinējspēks). Parasti tam reālā shēmā atbilst enerăijas avots, kura
uzdevums ir neelektriskās enerăijas (mehāniskās, ėīmiskās, gaismas u.c)
pārveidošana elektriskajā. Vispārīgāk - ar EDS dažkārt raksturo arī elektriskās enerăijas
pārveidošanos citā enerăijas formā, piemēram, mehāniskajā. Termina "elektrodzinējspēks” vietā
literatūrā ir lietots arī visai veiksmīgs jaunvārds: "pirmspriegums".
Elementu tipi Grafiskie apzīmējumi Parametri, to apzīmējumi Mērvienības, to
apzīmējumi
EDS EDS (elektrodzinējspēks), e volts, V
rezistīvs pretestība, R oms,
induktīvs induktivitāte, L henrijs, H, [ s]
kapacitīvs kapacitāte, C farāds, F, [ −1 s]
EDS mērvienība ir volts (V). Apzīmējums shēmā: EDS bultiĦa aplī.
EDS ir vienīgais elementa tips shēmā, kas pastāvīgi varētu būt enerăijas avots. Pārējos elementu
tipus sauc par pasīviem elementiem, jo tie enerăiju var tikai patērēt (elements R) , vai arī to uzkrāt, lai
pēc tam piedalītos ėēdē notiekošajā enerăijas apmaiĦā (elementi L un C) .
- rezistīvs elements. Parasti ar šādu idealizētu elementu aizvietošanas shēmā raksturo
elektriskās enerăijas pārveidošanu siltuma enerăijā. Tas ir neatgriezenisks process.
Šī elementa parametrs ir pretestība R, tās mērvienība - oms ( ).
- induktīvs elements. Šāds idealizēts elements shēmā raksturo magnētisko lauku
reālā ėēdē. Piemēram, induktīvas spoles magnētiskajā laukā uzkrātā enerăija ir
proporcionāla strāvas kvadrātam (i2). Šī enerăija nekādos apstākĜos nevar mainīties strauji (ar lēcienu).
TādēĜ saka, ka induktīviem elementiem piemīt inerce attiecībā pret iespējamām strāvas izmaiĦām:
elektriskās strāvas vērtība šādā elementā nevar mainīties lēcienveidīgi. Induktīva elementa parametrs ir
induktivitāte L, tās mērvienība ir henrijs (H).
- kapacitīvs elements. Ar šādu idealizētu elementu shēmā raksturo reālās ėēdēs radīto
elektrisko lauku. Piemēram, kondensatora elektriskajā laukā uzkrātā enerăija ir
proporcionāla sprieguma kvadrātam (u2). Šī enerăija arī nekādos apstākĜos nevar mainīties ar lēcienu.
TādēĜ kapacitīvi elementi ir inerciāli attiecībā pret sprieguma izmaiĦām: spriegums uz kapacitīvā
elementa nekad nemainās ar lēcienu. Šī elementa parametrs ir kapacitāte C, tās mērvienība ir farāds
(F).
Terminus “rezistīvais elements”, “kapacitīvais elements”, “induktīvais elements” dažkārt aizstāj ar
ikdienišėākiem apzīmējumiem: “rezistors”, “kondensators”, “ideāla spole”.
Elektriskie lielumi un to apzīmēšana
Elektriskie lielumi
Formulu tabulā elementu parametri (E, R, L un C) ir sastopami tikai četros pirmajos vienādojumos.
Pārējos 3 vienādojumos ir tikai elektriskie lielumi: spriegums (u), strāva (i) un jauda (p). Elektrisko
lielumu grupai pieder arī EDS parametrs e. Elektrisko lielumu mērvienības ir: strāvai - ampēri (A),
spriegumam un EDS - volti (V), bet jaudai - vati (W) vai voltampēri (VA). Vispār, elektriskie lielumi ir
laika funkcijas . Ar mazajiem burtiem (e, i, u, p) apzīmē elektrisko lielumu momentānās vērtības.
Elements "e"
Elements "R"
Elements "L"
Elements "C"
Aprēėinos un mērījumos daudz biežāk lieto vidējās vai vidējās kvadrātiskās vērtības - tās pieĦemts
apzīmēt ar lielajiem burtiem: EDS E, strāva I, spriegums U, jauda P.
Pievērsiet uzmanību tam, ka vienādojumi (1.1)...(1.7) satur tikai elektrisko lielumu momentānās vērtības.
Automātiski nomainīt tajos momentānās vērtības ar kaut kādām vidējām vērtībām būtu rupja kĜūda.
Taču vienādojumus būs iespējams pārveidot tā, lai aprēėinos varētu lietot vidējās vai vidējās kvadrātiskās vērtības.
Otra vienādojumu īpatnība ir tā, ka divi no tiem - (1.3) un (1.4) - satur strāvas un sprieguma atvasinājumus. Ja
tos lietotu nepārveidotus, tad shēmas galu galā aprakstītu diferenciālvienādojumi. Dažos gadījumos, piemēram,
pārejas procesu aprēėinos, no diferenciālvienādojumu risināšanas izvairīties neizdodas. Taču lielāko daĜu
uzdevumiem pieeja ir vienkāršāka. Jebkurā no tehniskajām disciplīnām cenšas samazināt tipveida uzdevumu
risināšanas darbietilpību, izveidojot t.s. inženiermetodes. Elektrotehnika nav izĦēmums - te inženiermetodes
izveidotas tā, lai elektrisko lielumu momentāno vērtību vietā būtu iespējams lietot vidējās vai vidējās kvadrātiskās
vērtības, un lai diferenciālvienādojumu vietā varētu risināt algebriskus vienādojumus. Elektrisko ėēžu analīzes un
aprēėina inženiermetodes, kā arī to izveidošanas principus uz minēto septiĦu pamatvienādojumu bāzes, aplūkosim
nākošajās nodaĜās.
Spriegumu skaits shēmā
Ja kādai shēmai jāsastāda vienādojumi, tad vispirms tajā pareizi jāapzīmē strāvas un spriegumi.
Tāpēc vispirms jānoskaidro, cik shēmā ir spriegumu un strāvu. Tas ir svarīgāk nekā varētu likties.
Nepareizi nosakot, piemēram, spriegumu skaitu shēmā, tie arī tiks apzīmēti nepareizi, un turpmākā
vienādojumu sastādīšana jau no paša sākuma būs kĜūdaina. Strāvu skaita noteikšana izraisa mazāk
kĜūdu: zināms, ka virknē slēgtos elementos plūst viena un tā pati strāva. Tiesa gan, priekšstats par
virknes slēgumu bieži vien ir kĜūdains - to novērsīsim vēlāk šajā nodaĜā.
Noteikt spriegumu skaitu nav sarežăīti. No fizikas kursa zināms, ka spriegums ir divu shēmas
punktu potenciālu starpība. Tas nozīmē, ka spriegumu skaitu nosaka punktu skaits shēmā.
1.1. att.
Spriegumu skaitu nosaka punktu skaits shēmā:
a) 2 punkti - 1 spriegums: uAB ,
b) 3 punkti - 3 spriegumi: uab , ubc , uac ,
c) 4 punkti - 6 spriegumi: u12 , u13 , u14 , utt. .
Ja shēmā ir tikai 2 punkti A un B (katru punktu shēmā var apzīmēt ar ciparu vai burtu), tad,
saskaĦā ar sprieguma definīciju (potenciālu starpība), shēmā ir jārēėinās tikai ar vienu spriegumu:
.
(Pretēja virziena spriegums uBA nav kaut kas īpaši atšėirīgs - tas vienkārši ir vienāds ar −uAB.
Ja shēmā ir 3 punkti (piemēram, a, b un c), tad tajā ir 3 spriegumi (šajā piemērā: uab , ubc , uac).
Ja shēmā ir 4 punkti, tad neatkarīgi no tā, kādi ir elementi, un kā tie savienoti, shēmā ir 6 spriegumi
(sk. 1.1. att.).
Pārbaudiet, vai shēmai ar 5 punktiem spriegumu skaits ir 10. Pamēăiniet atbildēt uz šādu jautājumu: vai ir
iespējama shēma, kurā būtu tikai 2 spriegumi ?
Tātad jebkuras shēmas izpēti vajadzētu sākt ar jautājumu: cik punktu ir šajā shēmā? Tas palīdzēs
noteikt spriegumu skaitu. Tāpēc vispirms vienosimies, ko shēmā uzskatīt par punktu.
Elektriskās ėēdes veido, savstarpēji savienojot elementus. Atšėirībā no vadiem reālās elektriskās
ėēdēs, aizvietošanas shēmās savienotājvadus uzskata par ideāliem (bez elektriskās pretestības). Citiem
vārdiem, uz savienotājvada visā tā garumā ir viens un tas pats elektriskais potenciāls. Tātad: ja vairāku
elementu izvadi ir savienoti, tie iegūst vienu un to pašu potenciālu un tos var uzskatīt par vienu un to
pašu punktu.
1.1. piemērs (1.2 att.). Shēmā (a) ir 4 elementi. Katram no tiem ir 2 izvadi: punktu skaits varētu būt 8. Taču
daži no tiem ir savstarpēji savienoti, tādēĜ shēmā ir tikai 2 punkti - tas nozīmē, ka tajā ir nevis vairāki, bet tikai
viens spriegums! Shēmā (b) ir trīs punkti ar dažādiem potenciāliem, tātad 3 spriegumi. Arī shēmā (c) ir 3
spriegumi.
Protams, shēmas punktu (ar dažādiem potenciāliem) skaitam nav nekā kopēja ar shēmā redzamo punktu (tos
liek katrā shēmas sazarojuma vietā) skaitu. Piemēram 1.2.,c att. shēmā iezīmēti 6 šādi “punkti”: 1, 1, 2, 2, 3 un 3.
Taču tajā ir tikai 3 punkti, kuru potenciāli varētu atšėirties - tātad 3 spriegumi (u12, u23 un u13).
a)
2 2
1 1
b)
3 3
2
1 1
c)
1
3 3
2 2
1
1.2. att. Punktu skaits shēmā: visam kopā savienotajam ir viens un tas pats potenciāls!
Spriegumu apzīmēšana
Lai vienādojumos vai paskaidrojošā tekstā varētu pazīt konkrētus spriegumus vai strāvas, tie shēmā
ir jāapzīmē, katram no tiem piešėirot individuālu indeksu, piemēram, u1, uab, u, i1, iL. Protams, kādam
vienam spriegumam un vienai strāvai indeksa var nebūt.
Tā kā spriegums ir divu shēmas punktu potenciālu starpība, tad, apzīmējot spriegumu, noteikti
jānorāda: 1) uz kuru divu punktu potenciāliem attiecas šis spriegums, 2) kurš (no diviem iespējamiem)
ir šī sprieguma pieĦemtais pozitīvais virziens. Abas šīs prasības apmierina jebkurš no šiem diviem
sprieguma apzīmēšanas paĦēmieniem: ar diviem indeksiem (piemēram, u12, ubc) vai ar brīvi izvēlētiem
indeksiem (piemēram, u1, uL, u).
Pirmajā gadījumā shēmā jāapzīmē abi punkti, bet formulās un tekstā sprieguma apzīmējumā
jābūt diviem indeksiem - pieĦemto pozitīvo virzienu tad nosaka indeksu secība.
Otrā gadījumā sprieguma pieĦemto pozitīvo virzienu parāda ar sprieguma bultiĦu shēmā, kuras
gali norāda uz abiem punktiem. Shēmā līdzās bultiĦai jāparāda arī sprieguma apzīmējums (indeksu tad
var izvēlēties brīvi), kas tiks lietots arī formulās un tekstā.
a)
b)
1. 3.att. Ilustrācija sprieguma apzīmēšanai:
a) divi indeksi sprieguma apzīmējumā (uab) - shēmā jāapzīmē tikai abi
punkti,
b) brīvi izvēlēts indekss (uL) - shēmā jāparāda sprieguma bultiĦa un arī
tā apzīmējums. Abos gadījumos apzīmēts tas pats spriegums: starp
induktīvā elementa.izvadiem, ar pieĦemto pozitīvo virzienu: pa labi.
Shēmās katrā ziĦā jāapzīmē tie spriegumi (vai strāvas), kuri tiks izmantoti formulās, diagrammās vai
paskaidrojošā tekstā. Apzīmēt pārējos spriegumus vai strāvas tikai apzīmēšanas dēĜ nevajag.
Strāvu apzīmēšana
Salīdzinot ar spriegumu - tas eksistē (vai to var izmērīt) starp diviem shēmas punktiem (nekad nelietojiet
vārdus: “spriegums plūst...”) - strāva ir pavisam citāda rakstura lielums: tā raksturo elektrisko lādiĦu plūsmu
caur elementiem un savienotājvadiem, saglabājot savu vērtību nesazarotā ėēdes posmā. Starp citu, arī strāvas un
sprieguma mērīšana principā atšėiras. Spriegumu izmērīt ir vienkāršāk – abus mēraparāta (voltmetra) izvadus
(neiejaucoties shēmā) pievieno diviem shēmas punktiem; voltmetrs uzrāda šo punktu potenciālu starpību. Tāpēc
voltmetrus (un vatmetru sprieguma ėēdes) pieslēdz, kad visa pārējā shēma jau saslēgta. Strāvas mērīšana prasa
iejaukšanos shēmā: ampērmetru nevis pieslēdz shēmai, bet gan ieslēdz paredzamajā strāvas ceĜā.
Strāvu apzīmē šādi - shēmā blakus elementam vai savienotājvadam parāda strāvas bultiĦu, kuras
virziens norāda strāvas pieĦemto pozitīvo virzienu (nevis īsto virzienu; pret to ir vismaz divi
argumenti: strāvas īsto virzienu parasti var noskaidrot tikai aprēėina gaitā, un otrkārt, strāvas virziens
vispār var būt laikā mainīgs). Pārējais - līdzīgi sprieguma apzīmēšanai ar brīvi izvēlētiem indeksiem:
shēmā bultiĦas tuvumā pieraksta strāvas apzīmējumu, ko lieto arī formulās. Piemērs: strāva i1 1.3.,b
attēlā. Abos virknē slēgtajos elementos plūst viena un tā pati strāva, kuru apzīmēt divreiz, protams,
būtu nepareizi.
Elementu vienādojumi
EDS loma shēmā. EDS vienādojums
Ja shēma ir pieslēgta elektriskās enerăijas avotam, tad avota EDS darbības rezultātā divi shēmas
punkti iegūst dažādus potenciālus. Šī potenciālu atšėirība ir par cēloni tam, ka elementos un
savienotājvados plūst strāva, un pārējie shēmas punkti iegūst dažādus potenciālus - shēmā izveidojas
dažādi spriegumi.
1.4. att
EDS avota pamatīpašība aizvietošanas shēmās ir šāda:
elements, kura EDS vērtība ir e volti, paaugstina potenciāla vērtību EDS
bultiĦas virzienā par e voltiem. Piemēram, 1.4 att. punkta B potenciāls ir
par e voltiem augstāks par punkta A potenciālu.
Izmantojot šo EDS pamatīpašību un sprieguma definīciju (potenciālu
starpība), var iegūt elementa vienādojumu (1.1):
Ievērojiet, ka šis vienādojums būs pareizs tikai tad, ja sprieguma pieĦemtais pozitīvais virziens
(šeit: no A uz B) sakritīs ar EDS bultiĦas virzienu. Ar līdzīgiem nosacījumiem jārēėinās arī pārējo
elementu vienādojumos, tādēĜ šeit vienādojumi paskaidroti ar shēmas fragmentiem, kas satur
vienošanos par virzieniem. Lai tos būtu vieglāk atcerēties, visos 4 gadījumos (e, R, L, C) abu
elektrisko lielumu (u un e, u un i) virzieni shēmā izvēlēti vienādi. Piemēram,
Šī elementa vienādojums (1.1) kopā ar zīmējumu satur vismaz 3 idejas:
• Formulā lietojamā zīme attiecas tikai uz situāciju, kad EDS bultiĦas virziens sakrīt ar sprieguma
pieĦemto pozitīvo virzienu. Ja šie virzieni nesakrīt, jālieto pretējā (plusa) zīme.
• Spriegums formulā ir nevis jebkurš, bet tikai spriegums uz šī konkrētā elementa.
• Zīmi šajā formulā nosaka EDS un sprieguma virzieni, bet tā šeit nav atkarīga no strāvas virziena.
Elementu R, L un C vienādojumi
Pārējo trīs elementu (R, L un C) vienādojumu izteiksmes ir pazīstamas no fizikas kursa. Lai tos
pareizi lietotu elektriskajās ėēdēs, kad shēmā ir vairāki spriegumi un strāvas, nevar ignorēt arī to
pieĦemtos pozitīvos virzienus. Tāpēc katram no elementu vienādojumiem pievienots zīmējums.
.
u
i R
Formulā ir šāda (plusa) zīme tikai tad, ja sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni shēmā
sakrīt.Vienādojums (tāpat kā sekojošie induktīvā un kapacitīvā elementa vienādojumi), saista dotā
elementa strāvu ar spriegumu uz šī elementa (nevis kādu citu, kaut vieglāk pieejamu spriegumu!).
.
Vienādojums (1.3) rāda, ka spriegums uz induktīvā elementa atkarīgs no strāvas i izmaiĦas ātruma.
Piemēram, ja strāva nemainās, spriegums uz šī elementa ir vienāds ar nulli. Ja strāva laikā lineāri aug,
tad shēmas fragmentā parādītais spriegums ir pozitīvs ar konstantu vērtību, utt.
Elementa e (EDS) vienādojums:
Rezistīvā elementa (R) vienādojums
Induktīvā elementa (L) vienādojums
Kapacitīvā elementa (C) vienādojums
u
i C
Vienādojums (1.4) rāda, ka kapacitīvajā elementā plūstošās strāvas i vērtība ir atkarīga no sprieguma izmaiĦas
ātruma.
Jebkura formula ir pareiza tikai kopā ar tās lietošanas noteikumiem. Lietojot elementu (e, R, L un
C) vienādojumus (1.1) ... (1.4), jāievēro sekojošais:
• formulas ir spēkā tikai elektrisko lielumu (u, i, e) momentānajām vērtībām, (bet ne vidējām vai
vidējām kvadrātiskajām vērtībām),
• lietojot formulu, jāpārliecinās, ka tā tiešām saista viena konkrēta elementa lielumus (bet ne
jebkurus viegli pieejamus spriegumus un strāvas!),
• zīme formulā atbilst zīmējumā parādītajai situācijai, kad abu elektrisko lielumu bultiĦu (t.i.,
pieĦemtie pozitīvie) virzieni sakrīt. Ja šie virzieni ir savstarpēji pretēji, zīme formulā ir jāmaina
uz pretējo.
Šie četru elementu vienādojumi, ievērojot zīmējumos parādītos nosacījumus, ir spēkā jebkurai
aizvietošanas shēmai ar lineāriem elementiem R, L un C jebkurā režīmā (līdzstrāvas, maiĦstrāvas,
trīsfāžu maiĦstrāvas, u.c. ėēdēs; stacionāros režīmos un pārejas procesos). Tos nepārveidotus izmanto,
aprēėinot pārejas procesus. Uz vienādojumu (1.1) ... (1.4) pamata iegūst vienkāršākas, atvasinājumus
nesaturošas sakarības līdzstrāvas un maiĦstrāvas ėēžu aprēėinam stacionāros režīmos.
Spriegumu un strāvu vienādojumi
Shēmu topoloăijas pamatjēdzieni
Lai aprēėinātu kādu konkrētu shēmu, nepietiek ar atsevišėu elementu vienādojumiem: ir jāprot arī
apvienot vienādojumos dažādu elementu vai shēmas daĜu strāvas un spriegumus. Šai nolūkā
iepazīsimies ar jēdzieniem, kurus lieto, lai aprakstītu shēmas savienojumu struktūru jeb topoloăiju.
Shēmas īpašības nosaka nevis elementu izkārtojums vai savienotājvadu garums, bet tikai elementu
sastāvs, to parametri un shēmas topoloăija. Biežāk sastopamie topoloăiskie jēdzieni ir punkts, mezgls,
zars, kontūrs un divpols.
Punkts - jēdziens, bez kura elektrotehnikā vispār nav iespējams iztikt (mācību literatūrā gan - no tā
visas nelaimes!). Ar šī jēdziena uzdevumu jau iepazināmies, aplūkojot spriegumu apzīmēšanu.
Definēsim punktu šādi: 1) punkts ir jebkurš no diviem elementa (e, R, L vai C) izvadiem (vai
poliem, reālā elektriskā ėēdē - spailēm), 2) divus vai vairākus punktus savienojot, to potenciāli
neatšėiras, tāpēc tos var uzskatīt par vienu punktu. Piemēram, 1.5.,a att. shēmā ir 5 punkti.
Atrodiet tos! Apzīmēti ir tikai divi no tiem, bet vajadzības gadījumā katram shēmas punktam
varētu piešėirt savu simbolu-apzīmējumu.
Mezgls - trīs un vairāk vadu savienojuma vieta. Kopā savienotus mezglus var uzskatīt par vienu
mezglu. 1.5.,a att. shēmā no 5 tās punktiem divi (1 un 2) ir mezgli.
Zars - shēmas daĜa ar vienu elementu vai ar vairākiem virknē slēgtiem elementiem, kas pievienota
diviem mezgliem. 1.5.,a zīm. shēmā ir 3 zari, katrs no tiem ieslēgts starp mezgliem 1 un 2: 1) ar
elementu E1, 2) ar elementiem R1, C un R2, 3) ar elementiem E2 un L.
Šeit atkal lietots šėietami viegli saprotamais virknes slēguma jēdziens. Pieredze rāda, ka priekštati par slēgumu
veidiem shēmās nereti ir kĜūdaini un tie jākoriăē. Šie jautājumi iztirzāti nedaudz vēlāk.
Kontūrs - noslēgts ceĜš shēmā, kas iet caur elementiem (e, R, L, C) un pa savienotājvadiem. Shēmā
(1.5.,a att.) ir 3 kontūri: 1) ar elementiem E1, R1, C un R2, 2) ar elementiem R1, C, R2, L un E2, 3)
ar elementiem E1, E2 un L. Dažkārt kontūru saista ar izvēlētu tā apejas virzienu. Piemēram šo 3
kontūru elementu minētā secība nozīmē, ka 1. un 3. kontūram apejas virziens pieĦemts pulksteĦa
rādītāja kustības virzienā, bet 2. kontūram - pretēji tam.
Divpols - shēmas daĜa, kas pieslēgta pārējai shēmai divos punktos. Vienkāršākie divpoli ir
aizvietošanas shēmu elementi e, R, L un C. Divpolu, kas satur vismaz vienu EDS, sauc par aktīvu
divpolu. Piemērs 1.5.,a att. shēmā: divpols ar elementiem E2 un L. Ja divpola sastāvā nav neviena
EDS - par pasīvu divpolu.
Divpola jēdzienu ieved, lai vienkāršotu shēmas analīzi, jo katram divpolam ir tikai 2 punkti, un to raksturo
viens spriegums un viena strāva. Ja sprieguma un divpolā plūstošās strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni
(bultiĦu virzieni) sakrīt, divpols nosacīti tiek uzskatīts par patērētāju. Ja tie ir savstarpēji pretēji - par
avotu. Piemēram, 1.5.,b att. 1. divpolā strāvas i bultiĦas virziens (uz augšu) ir pretējs sprieguma uab
bultiĦas virzienam. Šādi virzieni nozīmē pieĦēmumu, ka 1. divpols ir avots (ăenerators). Savukārt, 2.
divpols nosacīti ir patērētājs, jo tajā strāvas un sprieguma bultiĦu virzieni ir savstarpēji pretēji. Iebilde
“nosacīti “ nozīmē, ka aprēėinā iegūtas negatīvas jaudas p (sk. nodaĜas beigās) vērtības nozīmē, ka
patiesais divpola režīms ir pretējs pieĦemtajam (divpols tad ir nevis avots, bet patērētājs - vai otrādi).
a) b)
1.5. att. Ilustrācijas shēmu topoloăijas pamatjēdzieniem:
a) shēma ar 5 punktiem, 2 mezgliem, 3 zariem un 3 kontūriem, b) divpola avota un patērētāja režīms.
Vienkāršākie slēgumu veidi
Pamēăiniet atrast atbildes uz jautājumiem par elementu slēgumiem 1.6 att. parādītajā shēmā. Kā
slēgti elementi R1 un R7: virknē, paralēli vai ne virknē, nedz arī paralēli? Pierakstiet atbildi. Pēc tam
tāds pats jautājums attiecībā uz elementu pāriem: R1 un R2; R2 un R3; R2 un R5; R5 un R7; R5 un R8;
R6 un R8; R1 un R9.
Pēc tam saskaitiet rezultātus: cik virknes slēgumus un cik paralēlslēgumus aplūkotajos elementu
pāros atradāt? Ja atbilde ir: “vienu virknes slēgumu un divus paralēlslēgumus”, tad pārejiet pie nākošā
virsraksta. Pretējā gadījumā vajadzētu iepazīties ar divām sekojošām definīcijām.
1.6.att.
Atrodiet šajā shēmā virknē
un paralēli slēgtus elementus!
Elementi ir savienoti paralēli, ja tiem ir 2 kopēji punkti. Piemēram, R3 un R6 nav slēgti paralēli,
jo tiem ir tikai viens kopējs punkts (d). Turpretī elementi R6 un R8 ir slēgti paralēli, jo tiem ir 2 kopēji
punkti (c un d). Acīmredzot, ja elementi ir slēgti paralēli, uz tiem ir viens un tas pats spriegums.
Elementi ir savienoti virknē, ja shēmā eksistē ceĜš no viena elementa līdz otram (pa
savienotājvadiem un caur elementiem), kurā nav mezglu. Piemēram, R1 nav slēgts virknē ar R7, jo
nekādi nav iespējams nokĜūt no elementa R1 līdz R7, izvairoties no mezgliem (a, b, c vai d). Ja
elementi ir slēgti virknē, caur tiem plūst viena un tā pati strāva. Tas jāievēro, nosakot strāvu skaitu
shēmā un apzīmējot tās: pietiek apzīmēt strāvu vienā no virknē slēgtajiem elementiem.
Pamēăiniet vēlreiz atbildēt uz iepriekšējiem jautājumiem, bet izmantojot dotās virknes un paralēlslēguma
definīcijas. Tagad nebūs grūti atrast, ka paralēli slēgti ir tikai R5 ar R7 (kopēji punkti a un c), kā arī R6 ar R8.
Vienīgais elementu pāris shēmā, kas atbilst virknes slēguma noteikumam ir R1 un R9.
Spriegumu vienādojumu sastādīšana
Jebkurai shēmai, kurā ir vismaz 3 punkti, var sastādīt vismaz vienu spriegumu vienādojumu.
Jebkuru spriegumu iespējams izteikt ar divu citu spriegumu summu šādi:
.
kur 1, 2 un 3 - jebkuru izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi.
Šo sakarību, kuru mācību literatūrā droši vien neatradīsiet (!), nebūs grūti pierādīt, izmantojot tikai
sprieguma definīciju:
a) b)
1
5
3
2
4
u15
1.7.att. Ilustrācija spriegumu vienādojumu sastādīšanai: a) spriegums starp punktiem 1 u 3 ir vienāds ar divu
citu spriegumu summu, b) spriegums u15 kā četru spriegumu summa.
Līdzīgi var parādīt, kā spriegumu izteikt ar vairākiem spriegumiem. Ja izvēlētie punkti apzīmēti ar
secīgiem cipariem (1, 2, … , n-1, n), tad spriegumu vienādojumu varētu uzrakstīt šādā formā:
Piemēram, jebkurai shēmai ar vismaz 5 punktiem pareizs būs šāds vienādojums:
Vienādojumu izveidošanas principu ilustrē 1.7.att. Ja spriegums vienādojuma kreisajā pusē ir, piemēram, u15
, tad labajā pusē 1) pirmā sprieguma bultiĦai jāsākas punktā 1, 2) katra nākošā sprieguma bultiĦai jāsākas punktā,
uz kuru norāda iepriekšējā sprieguma bultiĦa, 3) pēdējā sprieguma bultiĦai jānorāda uz punktu 5.
Tas pats citiem vārdiem: vienādojuma labajā pusē katra sprieguma (sākot ar otro) pirmais indekss sakrīt ar
iepriekšējā sprieguma otro indeksu.
Strāvu vienādojumu sastādīšana
Strāvu vienādojumu sastādīšanai var lietot sekojošu principu. Aplūkosim brīvi izvēlētu shēmas
daĜu (ko ierobežo iedomāta noslēgta līnija, kas šėērso savienotājvadus, bet ne shēmas elementus). Tad
jebkurā momentā šai shēmas daĜai pienākošo strāvu summa ir vienāda ar aizejošo strāvu summu.
Praktiski gandrīz vienmēr strāvu vienādojumus nāksies sastādīt, izmantojot pirmo Kirhofa
likumu, kas būtībā ir minētais princips, attiecināts uz mezgla punktu:
jebkurā mezglu punktā strāvu momentāno vērtību algebriskā summa ir vienāda ar nulli.
Ievērojiet, ka zīmes vienādojumā nosaka strāvu pieĦemtie pozitīvie virzieni (t.i., bultiĦu virzieni
shēmā), neatkarīgi no faktiskajiem virzieniem (tie, sastādot vienādojumu, nav jāzina).
“Algebriskā summa” šeit nozīmē: strāvas, kuru bultiĦas shēmā ir vērstas uz apskatāmo mezglu,
vienādojumā ieiet ar vienu zīmi (teiksim, “+”), bet tās strāvas, kuru bultiĦas vērstas prom no šī mezgla
- ar pretēju zīmi (“ −“).
a) b)
1.8. att. Shēmas fragmenti: mezgli ar pienākošām un aizejošām strāvām.
1.2. piemērs.
1.8.,a att. shēmā strāvu i1 un i3 bultiĦas vērstas mezgla A virzienā, strāva i2 vērsta prom no tā, tāpēc:
1.8.,b att. shēmā redzams shēmas fragments, kur punkti (a un a’) faktiski ir viena mezgla divas daĜas.
Vispirms pavingrināsimies, uzrakstot strāvu vienādojumu izteiksmes katrai no tām:
Praktiskos aprēėinos šo mezglu “savelk vienā punktā”. Tad strāva i2 shēmā un vienādojumā neparādās:
Divpola momentānā jauda
Elektriskajā ėēdē notiek enerăijas pāreja no viena veida otrā. Piemēram, pat līdzstrāvai plūstot
rezistorā, elektriskā enerăija nepārtraukti un neatgriezeniski pārveidojas siltuma enerăijā.
No fizikas kursa zināms, ka induktīvas spoles magnētiskajā laukā uzkrātā enerăija ir proporcionāla
strāvas kvadrātam, bet kondensatora elektriskā lauka enerăija ir proporcionāla sprieguma kvadrātam.
Tas nozīmē, ka mainoties strāvām vai spriegumiem atsevišėās ėēdes daĜās, notiks arī enerăijas
apmaiĦa un pārveidošanās citā enerăijas formā.
Tā kā enerăijas izmaiĦa ir atkarīga no laika intervāla ilguma, kurā to novēro, tad ērtāks lielums
enerăētisko procesu intensitātes raksturošanai ir jauda - enerăijas izmaiĦas ātrums, enerăijas izmaiĦa
laika vienībā. Jaudas momentāno vērtību apzīmē ar p.
Divpola ăenerētā vai patērētā momentānā jauda p ir proporcionāla abiem divpolu raksturojošiem
lielumiem: sprieguma un strāvas momentānajām vērtībām:
Lietojot vienādojumu (1.7), jāievēro sekojošais: ja shēmā divpola strāvas un sprieguma pieĦemtie
pozitīvie virzieni sakrīt - tad divpols nosacīti ir patērētājs. Ja šie virzieni nesakrīt, tad divpolu nosacīti
uzskata par avotu (ăeneratoru). Dotā divpola režīms var būt pretējs pieĦemtajam un pat mainīties.
Piemēram, ja kādā momentā divpola, kas nosacīti ir avots, momentānā jauda ir negatīva, tas nozīmē, ka
tas dotajā momentā darbojas patērētāja režīmā.
2. NODAěA
LĪDZSTRĀVAS ĖĒDES
Līdzstrāvas ėēdēs avotu EDS vai spriegumi laikā nemainās: u(t) = const. Tad stacionārā režīmā arī
visas strāvas un spriegumi ėēdē ir laikā nemainīgi lielumi. Šādus konstantus EDS, spriegumus, strāvas
un jaudas apzīmē ar lielajiem burtiem: E, U, I un P. Līdzstrāvas ėēžu vienādojumus var iegūt no
pirmajā nodaĜā apskatītajiem. Vienādojumi vienkāršojas - tāpēc, ka laikā nemainīgu strāvu un
spriegumu atvasinājumi ir vienādi ar nulli (di/dt = 0, du/dt = 0).
Šajā nodaĜā aplūkotas līdzstrāvas ėēdes tikai stacionārā režīmā: to vienādojumi, aprēėina metodes,
kā arī daži pielietojumi - vienkāršākās shēmas un režīmi. Pārejas procesi līdzstrāvas ėēdēs - 6. nodaĜā.
Līdzstrāvas ėēžu vienādojumi
Iepriekšējā nodaĜā iepazināmies ar septiĦiem aizvietošanas shēmu vienādojumiem: četru elementu
vienādojumiem, spriegumu un strāvu vienādojumiem un divpola jaudas formulu. Tie attiecas uz
elektrisko lielumu momentānām vērtībām (e, u, i, p) un ir spēkā jebkurai lineārai elektriskai ėēdei.
Līdzstrāvas ėēdēs EDS, spriegumu, strāvu un jaudu vērtības (E, U, I, P) vienlaikus ir arī momentānās
vērtības. Tomēr vienādojumu pielāgošana līdzstrāvas ėēdēm neaprobežojas tikai ar apzīmējumu
nomaiĦu. Šajā nodaĜā parādīts arī, kā atbrīvoties no induktīviem un kapacitīviem elementiem, kas ir
otrais Kirhofa likums (2.5a), un dotas ekvivalento pārveidojumu formulas.
Līdzstrāvas ėēžu vienādojumi kopā ar 1. nodaĜas pamatvienādojumiem parādīti sekojošā tabulā.
Zemāk būs paskaidrota to iegūšana un lietošanas noteikumi.
2.1. tabula. Līdzstrāvas ėēžu pamatformulas.
Vienādojumi Momentānām
vērtībām
Līdzstrāvai
u = −e U = −E (1.1), (2.1)
Elementu u = R i U = R I (1.2), (2.2)
vienādojumi u = L di/dt U = 0 (1.3), (2.3)
i = C du/dt I = 0 (1.4), (2.4)
Spriegumu u13 = u12 + u23 U13 = U12 + U23
(1.5), (2.5)
un - Σ ± E = Σ ± R I (2.5a)
strāvu vienādojumi S Σ ± i = 0 S ±S Σ ± I = 0 (1.6), (2.6)
Divpola jauda p = u i P = U I (1.7), (2.7)
Elementu vienādojumi
Lai pielāgotu EDS un rezistīva elementa R vienādojumus lietošanai līdzstrāvas ėēdēs,
vienādojumos (1.1) un (1.2) tikai nomainīsim apzīmējumus: momentānās vērtības (u, i, e) aizstāsim ar
konstantām vērtībām (U, I, E). Blakus katram no elementu vienādojumiem parādīts arī shēmas
fragments, lai uzsvērtu, ka formula un zīme tajā attiecas tikai uz šādu situāciju.
Elementa E vienādojumā (2.1) mīnusa zīme ir tad, ja EDS un sprieguma U pieĦemtie virzieni
sakrīt. Ievērojiet, ka zīme formulā nav atkarīga no pieĦemtā strāvas virziena.
U
E
U
I R
(2.2) ir rezistīvā elementa R vienādojums. Šādu formu, kurā izteiksmes pretējās pusēs ir strāva un
spriegums, kā arī koeficients - pretestība vai vadītspēja, elektrotehnikā sauc par Oma likuma izteiksmi.
Induktīvā, tāpat arī kapacitīvā elementa vienādojums satur strāvas (sprieguma) atvasinājumu.
Induktīvā elementa vienādojumā (1.3) atvasināmā strāva ir laikā nemainīga - tāpēc līdzstrāvas ėēdē
(protams, stacionārā režīmā, bet ne pārejas procesos) spriegums uz induktīva elementa ir vienāds ar
nulli:
Vienādojuma (2.3) fizikālā jēga ir šāda. Pašindukcijas EDS spolē var rasties tikai magnētiskā lauka
izmaiĦu rezultātā. Spolē plūstoša līdzstrāva rada laikā nemainīgu magnētisko lauku, tāpēc EDS
idealizētā spolē (neievērojot tās pretestību R) un spriegums uz tās ir nulle.
No kapacitīvā elementa vienādojuma (1.4), ja spriegums u laikā nemainās, varam secināt, ka
līdzstrāvas ėēdē strāva caur kondensatoru neplūst:
I = 0.
dt
du
i C (2.4)
Elementu L un C vienādojumus var izmantot, lai vienkāršotu shēmu (2.1.att). Vienādojums (2.3)
nozīmē arī to, ka līdzstrāvas ėēdē stacionārā režīmā induktīvu elementu var aizstāt ar savienotājvadu
(jo arī starp tā galiem spriegums ir vienāds ar nulli).
Vienādojums (2.4) nozīmē, ka kapacitīvu elementu shēmā var aizstāt ar ėēdes pārtraukumu - arī
caur to strāva nevar plūst.
2.1.att. Induktīvā un kapacitīvā elementa aizstāšana shēmā.
Tātad līdzstrāvas ėēdēs četru elementu vietā ir jārēėinās vairs tikai ar diviem elementu tipiem (E un
R). Arī vienādojumi ir vienkāršāki – tie vairs nesatur atvasinājumus.
2.2.att. EDS aizstāj ar spriegumu.
Un beidzot, visbiežāk sastopamais vienādojuma
(2.1) pielietojums parādīts 2.2.att. Ja ėēdē ir tikai
viens avots, tad shēmā to parasti attēlo nevis ar EDS,
bet ar tā spriegumu U. EDS aizstāts ar pretēja virziena
spriegumu U = E. Tas saskan ar vienādojuma (2.1)
noteikumiem: ja sprieguma un EDS virzieni nesakrīt,
tad formulā mīnusa zīmi nomaina ar plusa zīmi.
Spriegumu un strāvu vienādojumi
Pielāgosim spriegumu un strāvu vienādojumus (1.5), (1.5’) un (1.6) līdzstrāvas ėēdēm. Bez tam
iepazīsimies citu spriegumu vienādojumu sastādīšanas principu - izmantojot otro Kirhofa likumu.
Spriegumu vienādojumā (1.5) tikai jānomaina apzīmējumi:
kur 1, 2, 3 ir brīvi izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi.
Piemēram, daži spriegumu vienādojumi 2.3. att. shēmai:
Shēmās ar lielāku punktu skaitu vienu spriegumu var aprēėināt kā vairāku spriegumu summu:
Pirmais spriegums vienādojuma labajā pusē sākas punktā 1, katrs nākošais spriegums - punktā, uz
kuru vērsts iepriekšējais spriegums, bet pēdējais spriegums vērsts uz punktu n.
Piemēram, 2.3. att. shēmai spēkā ir sekojoši spriegumu vienādojumi:
Spriegumu vienādojums
Tas ir spriegumu vienādojums, kuru lieto, aprēėinot līdzstrāvas ėēdes ar
Kirhofa vienādojumu metodi vai ar tai radniecīgo kontūrstrāvu metodi.
Ārzemju literatūrā otrais Kirhofa likums ir pazīstamāks ar nosaukumu “Kirhofa spriegumu
vienādojums”.
Noslēgtā kontūrā visu EDS algebriskā summa vienāda ar spriegumu kritumu uz rezistīvajiem
elementiem (RI) algebrisko summu. Algebriskā summa nozīmē, ka vienādojumā ar plusa zīmi ievieto
tos EDS un strāvas, kuru pieĦemtie virzieni sakrīt ar kontūra apejas virzienu. Pārējos EDS un strāvas -
ar mīnusa zīmi.
a) b)
R1
I1
R3 R2
R4 E1
I E2 3
I2
I4
2.3.att. a) otrā Kirhofa likuma pielietojums, b) kontūrs vienādojuma izvedumam.
Piemērs.
uzrakstām otrā Kirhofa likuma izteiksmi, apejot 2.3.,a att. shēmā parādīto kontūru pulksteĦa
rādītāja kustības virzienā. Vienādojumā ar plusa zīmi ieiet tikai tie lielumi, kuru pieĦemtie pozitīvie
virzieni sakrīt ar kontūra apejas virzienu: E2, un I2:
Parādīsim, kā iegūt otrā Kirhofa likuma izteiksmi, izmantojot līdzstrāvas ėēžu pamatvienādojumus
(2.1), (2.2) un (2.6).
Visiem avotiem shēmā (2.3.,b att.) jābūt attēlotiem ar EDS (nevis ar spriegumiem). Sākumā
uzskatīsim, ka visu EDS un strāvu virzieni sakrīt ar izvēlēto kontūra apejas virzienu (šeit - pulksteĦa
rādītāja kustības virzienā). Apzīmēsim visus kontūra punktus ar secīgiem cipariem 1…n.
Spriegums U11, protams ir nulle. Izteiksim to ar kontūra elementu spriegumu summu, izejot no
punkta 1 un atgriežoties tajā. Tātad summēsim.visu izvēlētā kontūra spriegumus:
.
Tas nozīmē, ka visu kontūra elementu spriegumu summa ir vienāda ar nulli, ja visu spriegumu
virzieni izvēlēti kontūra apejas virzienā.
Piemēram, 2.3.,b attēlā parādītajam kontūram ir spēkā vienādojums:
Līdzstrāvas ėēdē jārēėinās tikai ar diviem elementu tipiem, tādēĜ, apejot kontūru, sastapsim tikai
spriegumus uz elementiem E un R. Aizvietosim šos spriegumus, izmantojot elementu vienādojumus
(2.1) un (2.2):
.
Atsakoties no sākotnējā pieĦēmuma, ka visu EDS un strāvu pieĦemtie virzieni sakrīt ar kontūra
apejas virzienu, iegūstam otrā Kirhofa likuma izteiksmi (2.5a).
Piemērojot strāvu vienādojumu jeb pirmo Kirhofa likumu (1.6) līdzstrāvas
ėēdei stacionārā režīmā, pietiek tikai izmainīt apzīmējumus. Momentānās
vērtības aizstājot ar konstantām; tās apzīmē ar lielajiem burtiem:
Strāvu vienādojuma formulējums ir tāds pats kā iepriekšējā nodaĜā: strāvu algebriskā summa
shēmas mezglā ir vienāda ar nulli; summē tikai mezglam pienākošās un no tā aizejošās strāvas;
Otrais Kirhofa likums
Strāvu vienādojums
“algebriskā summa” nozīmē to, ka strāvas, kuru bultiĦas (t.i., pieĦemtie pozitīvie virzieni) vērstas uz šo
mezglu, vienādojumā ieiet ar vienu (piemēram, plusa) zīmi, bet pārējās strāvas - ar pretēju zīmi.
Divpola jaudas formulas
Piemērojot divpola jaudas formulu (1.7) līdzstrāvas ėēdei, tajā tikai jānomaina apzīmējumi:
Šo jaudas formulu var konkretizēt speciālgadījumiem: ja divpols ir viens no elementiem - EDS E
vai rezistīvs elements R. TādēĜ vienādojumā (2.7) ievieto elementu vienādojumus (2.1) un (2.2).
Rezistīvs elements R var būt tikai enerăijas patērētājs. No (2.7) un (2.2) iegūstam visbiežāk
lietojamo formulu rezistīvā elementā izdalītās jaudas aprēėināšanai:
Elements E var darboties ne tikai kā avots, bet arī kā patērētājs. Atcerēsimies, ka divpola režīmu
noteicām, salīdzinot sprieguma un strāvas virzienus: ja tie sakrīt, tad divpols ir patērētājs. SaskaĦā ar
(2.1) spriegumam atbilst pretējas polaritātes EDS. Tātad dotā EDS režīmu var noteikt, salīdzinot EDS
un strāvas virzienus: ja tie sakrīt, tad elements E darbojas kā avots. Un otrādi, ja strāvas virziens šajā
elementā ir pretējs EDS virzienam, tad elements E ir patērētājs.
Citiem vārdiem, avota režīmā strāva plūst tā, kā to norāda paša avota EDS. Patērētāja režīmā ārējā ėēde
uzspiež citu strāvas virzienu - pretēju EDS virzienam.
Abos gadījumos ăenerētā vai patērētā jauda saskaĦā ar (2.1) un (2.7) ir skaitliski vienāda ar EDS un
strāvas reizinājumu:
.
Šajā formulā jālieto absolūtās vērtības, jo zīmes jau reiz izmantotas - novērtējot, vai EDS darbojas
avota vai patērētāja režīmā.
Jaudu P līdzstrāvas ėēdēs mērī vatos (W).
Ekvivalenti pārveidojumi līdzstrāvas ėēdēs
Aprēėina gaitā atsevišėas shēmas daĜas nākas pārveidot, lai shēmu vienkāršotu. Shēmas daĜas
pārveidojums ir ekvivalents, ja tā rezultātā pārējās (nepārveidotās) daĜas režīms (t.i., visas strāvas un
spriegumi) neizmainās. Zemāk aplūkotas dažu rezistīvo elementu slēgumu ekvivalento pārveidojumu
formulas.
2.4.,a att. parādīts ėēdes posms AB ar virknē slēgtiem
rezistīviem elementiem R1, R2, R3. Aizstāsim tos ar vienu
pretestību R - tādu, lai pārveidojums būtu ekvivalents.
2.4.att. Pretestību virknes slēguma ekvivalenta pārveidošana.
Tad abos gadījumos strāvai I jābūt vienai un tai pašai. Tā kā arī spriegumam UAB abās shēmās jābūt
vienam un tam pašam, varam pielīdzināt šī sprieguma izteiksmes:
U = RI =(R + R +R ) I . AB 1 2 3
No tām izriet, ka virknes slēguma ekvivalentā pretestība ir vienāda atsevišėo pretestību summu:
PieĦemsim, ka vairāki rezistīvi elementi R1, R2, R3 (2.5.att.)
slēgti paralēli. PieĦemot, ka spriegums UAB abās shēmās ir
viens un tas pats, arī strāvas vērtībai abās ekvivalentās shēmās jābūt tai pašai.
Virknes slēguma ekvivalentā pretestība
Paralēlslēguma ekvivalentā pretestība
2.5.att. Pretestību paralēlslēguma ekvivalenta pārveidošana.
Uzrakstām strāvas izteiksmes abām shēmām un pielīdzinām tās:
Tāpēc paralēlslēguma ekvivalentā vadītspēja (1/R) ir vienāda ar atsevišėo zaru vadītspēju summu:
Ievērosim, ka pretestībai pievienojot paralēli vēl kādu pretestību, ekvivalentā pretestība samazinās.
Šo faktu var izmantot aprēėinu pareizības kontrolei: paralēlslēguma ekvivalentajai pretestībai ir jābūt
mazākai pat par vismazāko no paralēli slēgtajām pretestībām.
Ievērību pelna arī sekojošie divi speciālgadījumi.
1. Paralēli slēgti ir tikai divi zari. Tā ir pārāk bieži sastopama situācija, lai katru reizi nodarbotos ar
formulas (2.9) pārveidošanu. Izdarīsim to vienreiz, un turpmāk lietosim šādu izteiksmi:
R =
R R
R R
1 2 .
1 2
⋅
+
Ievērojiet: šī formula derēs tikai gadījumā ar 2 paralēliem zariem! Neriskējiet ar līdzīgu formulu
(varat pārbaudīt!) trīs un vairāk paralēlu zaru gadījumā!
2. Posms ar īsslēgumu: viena no paralēli slēgtajām pretestībām ir vienāda ar 0. Tad visa šī posma
ekvivalentā pretestība ir nulle (jo tā taču nevar būt lielāka par vismazāko no pretestībām).
Spriegums uz šāda īsslēgta posma ir vienāds ar 0 (jo abi posma mezgli savienoti ar zaru bez
pretestības). Nedrīkst neredzēt, ka strāva zaros ar pretestībām neplūst (I = 0/R = 0); visa strāva
caur šo posmu plūst zarā bez pretestības, jo tikai tur strāva (I = 0/0: nenoteiktība!) var nebūt
vienāda ar nulli.
Līdzstrāvas ėēžu ar vienu avotu analīze
Līdzstrāvas ėēdes ar vienu avotu aprēėina, izmantojot ekvivalentus pārveidojumus. Shēmu
pakāpeniski vienkāršo, kamēr iegūst viegli aprēėināmu shēmu. Tajā atrod visu strāvu un spriegumu
vērtības. Pēc tam rezultātus pakāpeniski pārnes atpakaĜ uz sākotnējo shēmu, ievērojot, ka visi
pārveidojumi ir ekvivalenti - tātad katrām divām secīgām shēmām ir kopēja nepārveidota daĜa. Uz
jautājumu, ko uzskatīt par viegli aprēėināmu shēmu, atbilde ir pavisam konkrēta: shēma vairs nav
jāvienkāršo, ja iegūts viens no diviem šādiem shēmas tipiem: 1) virknes slēgums, 2) shēma, kurā ir
tikai 2 mezgli, t.i., shēma, kas satur tikai paralēlus zarus.
Virknes slēgumam (piemēram, 2.4.,a att), kam pielikts spriegums U, strāvu I
aprēėina, spriegumu U dalot ar ekvivalento pretestību. Spriegumu uz atsevišėiem
elementiem atrod, izmantojot rezistīvā elementa vienādojumu (2.2):
Mazāk acīmredzami, ka tālāk nav jāpārveido arī shēma, kas sastāv tikai
no paralēliem zariem. Lieki būtu aprēėināt visas shēmas ekvivalento
pretestību, ja iespējams uzreiz atrast strāvu katrā zarā (izdalot spriegumu, kas kopējs visiem zariem, ar
katra zara pretestību - zarā var būt elements R vai šo elementu virknes slēgums). Shēmas kopējo strāvu
atrod, summējot visu zaru strāvas.
Virknes slēgums
Shēma ar diviem mezgliem
Piemēram, 2.6. att. shēmu aprēėina šādi:
2.6. att.
2.1. piemērs.
Šis ir vienkāršākais gadījums, kad shēma ir ekvivalenti jāpārveido.
Dotie lielumi 2.7.,a att. shēmā: U = 200 V, R1 = 20 , R2 = 400 , R3 = 100 . Aprēėināt visas strāvas.
Atrisinājums.
Pārveidojam shēmu, aizstājot elementu R2 un R3 paralēlslēgumu ar ekvivalento pretestību R23:
Izveidojas shēma (2.7.,b att.), kurā ir tikai virknes slēgums. Tālāk tā vairs nav jāpārveido. Aplūkojot abas
shēmas, ievērosim, ka to kopējā, nepārveidotā daĜa ir - avots ar spriegumu U, rezistors R1 ar strāvu I1 , kā arī
punkti A un B, starp kuriem abās shēmās ir viens un tas pats spriegums UAB.
a) b)
A
B
R1
R23
I1
U
2.7. att. Piemērs ar shēmas ekvivalentu pārveidojumu.
Aprēėinām tos lielumus, kurus pārnesīsim atpakaĜ uz pirmo shēmu:
Tagad arī pirmajā shēmā spriegums UAB ir zināms. Tas atĜauj aprēėināt strāvas posmā AB:
.
Tā, lūk, aprēėina šo vienkāršo shēmu. Katru gadu eksāmenā ne viens vien mēăina to aprēėināt vēl
“vienkāršāk”. Piemēram, strāvu I1 “aprēėina”, izdalot spriegumu U ar R1. No šādām idejām (teiksim, I2 = U / R2 ?)
uzmanieties! Izpētiet, kāpēc tās ir visrupjākās kĜūdas!
Vienmēr pārbaudiet iegūtos rezultātus! Sastādiet aprēėinātajai shēmai vienādojumus, izmantojot
pamatvienādojumus (2.1), (2.2), (2.5) un (2.6), lai tajos ievietotu skaitliskās vērtības.
Līdzstrāvas ėēžu un režīmu piemēri
Aktīva divpola darba režīmi
Aplūkosim gadījumu, kad līdzstrāvas ėēdē ir patērētājs (slodze) ar maināmu pretestību. Izrādās, ka
visu pārējo ėēdi - neatkarīgi no tās konfigurācijas un avotu skaita tajā - var ekvivalenti aizstāt ar tādu
vienkāršu aktīvu divpolu kā EDS un rezistīvā elementa virknes slēgums. PaĦēmienu, kā to izdarīt, šeit
vēl neapskatām; šim nolūkam izmanto vienu no elektrisko ėēžu aprēėina metodēm - ekvivalentā
ăeneratora metodi.
2.10.,a att. shēmā abi aktīvā divpola parametri E un R1 ir konstanti. Maināmā slodzes pretestība
apzīmēta ar R2. 2.10.,b att. parādīta shēma aktīvā divpola režīmu eksperimentālai pētīšanai. Atšėirība
no iepriekšējās shēmas: EDS aizvietots ar līdzvērtīgu pretēji vērstu spriegumu U = E.
Dažādus režīmus iegūst, patērētāja pretestību R2 mainot no bezgalības līdz nullei. Abiem galējiem
režīmiem ir nosaukumi (sk. 2.11.,a att). Režīmu, kad ėēde ir pārtraukta (I = 0) – tad uzskatīsim, ka
maināmā pretestība R2 ir bezgalīgi liela -, sauc par tukšgaitas režīmu. Vislielāko iespējamo strāvas
vērtību iegūst, ja slodzes pretestība R2 samazināta līdz nullei. Šo režīmu sauc par īsslēguma režīmu, un
strāvu - par īsslēguma strāvu Iīs = U/R1.
a)
R1
R2 E
b)
2.10. att. a) aktīvs divpols (E un R1) ar slodzi (R2), b) EDS aizstāts ar spriegumu U.
Atradīsim, kā, mainot ėēdes darba režīmu no tukšgaitas līdz īsslēgumam, mainās spriegumi un
jaudas ėēdē, pievēršot vērību šādiem jautājumiem: 1) kā mainās spriegums uz patērētāja UBC? 2) kurā
režīmā patērētājā izdalīsies vislielākā jauda? 3) kā mainās ėēdes lietderības koeficients? Visos grafikos
2.10. att. uz abscisu ass būs strāva I diapazonā no nulles līdz īsslēguma strāvas vērtībai.
a)
U=const
UAB=R1I
UBC=U–UAB
saskaĦotais īsslēgums
režīms
tukšgaita
I=0 R2=R1 R2=0
U
I
R2>R1 R2<R1
b)
2.11. att. Spriegumu un jaudu grafiki
2.10.,b att. shēma ir sprieguma dalītājs ar vienu maināmu pretestību.
Aplūkosim trīs sakarības, kas raksturo spriegumus:
Pirmā no tām nozīmē, ka spriegums UAB uz konstantās pretestības R1 ir proporcionāls strāvai - tā
grafiks aug lineāri līdz ar strāvu. Otrā izteiksme nav ērta analīzei, jo tajā abi lielumi (R2 un I) ir
mainīgi, tāpēc dosim priekšroku trešajai sakarībai. Ar to spriegumu UBC var atrast kā divu zināmo
spriegumu starpību. Starp citu, šāda situācija būs sastopama bieži: ja kādu spriegumu nevar atrast,
izmantojot Oma likumu, paliek iespēja izmantot spriegumu vienādojumu.
Spriegumu grafiki atkarībā no strāvas redzami 2.11.,a att. Pievērsiet uzmanību sprieguma UBC
grafikam: pieaugot strāvai, spriegums uz maināmās slodzes pretestības samazinās. Līdzīgu parādību
var novērot, ja slogo jebkuru līdzstrāvas avotu.
Īpašs nosaukums dots vēl vienam režīmam (skat. 2.11.,a att.): saskaĦotais režīms. To iegūst, ja abas
sprieguma dalītāja pretestības ir vienādas: R2 = R1. Kopējā pretestība (R1+R2) tad ir 2 reizes lielāka
nekā īsslēguma režīmā, tāpēc strāva ir 2 reizes mazāka par īsslēguma strāvu. Spriegums U sadalās
divās vienādās daĜās. Arī abu rezistoru patērētās jaudas saskaĦotajā režīmā ir vienādas. Ar ko šis režīms
ievērojams - redzēsim, analizējot jaudu grafikus..
Jaudas 2.10.,b shēmā apraksta šādas sakarības:
, , P , P . 2
2
2
AB 1 BC BC AB P UI P R I R I P P
Spriegumu atkarība no strāvas
Jaudu atkarība no strāvas
Pirmā no tām ir taisnes vienādojums, jo U = const. Tātad kopējā patērētā jauda, pieaugot slodzes
strāvai, pieaug lineāri.
Otrā izteiksme parāda, ka jaudai PAB, kas izdalās nemainīgajā pretestībā R1, grafiks ir parabola.
Tukšgaitā arī šī jauda vienāda ar nulli. Otru parabolas punktu atrodam saskaĦotajā režīmā: katra no
pretestībām tad patērē pusi no kopējās jaudas P. Trešais parabolas punkts: īsslēguma režīmā R2 = 0,
tāpēc PAB = P.
Jaudas PBC grafika raksturu novērtēsim izmantojot ceturto no izteiksmēm. No 2.10.,b att. grafika
saprotams, kāpēc saskaĦotajam režīmam ir īpašs nosaukums: saskaĦotajā režīmā maināmajā slodzes
pretestībā izdalītā jauda sasniedz maksimumu. Strāvas vērtību, pie kuras lietderīgā jauda sasniedz
maksimālo vērtību, varētu atrast arī analītiski, pielīdzinot nullei jaudas izteiksmes atvasinājumu pēc
strāvas:
Redzam, ka šī strāvas vērtība ir puse no īsslēguma strāvas - tātad tiešām saskaĦotajā režīmā.
Uzskatīsim, ka jaudas lietderīgā daĜa ir slodzes
pretestībai R2 piegādātā jauda. Tad lietderības
koeficients η ir slodzes patērētās jaudas attiecība pret kopējo jaudu. Pēc pārveidojuma iegūstam:
Tā kā U = const, tad lietderības koeficienta grafiks ir līdzīgs sprieguma UBC grafikam. Mērogu
atradīsim, zinot, ka saskaĦotajā režīmā lietderīgā jauda ir tieši puse no kopējās jaudas.
tukšgaita
saskaĦotais
režīms
īsslēgums I
η
1
2
1,0
0,5
2.12. att. Lietderības koeficienta grafiks.
Grafiks 2.11. att. rāda, ka tuvojoties tukšgaitas
režīmam lietderības koeficients tuvojas 100%
vērtībai. Un otrādi, palielinot slodzes strāvu,
jaudas zudumi pieaug un lietderības koeficients
samazinās līdz pat nullei īsslēguma režīmā.
Iegūtos rezultātus var attiecināt uz jebkuru līdzstrāvas ėēdi, kurā ir maināma slodze, jo ikvienu
šādu ėēdi var aprakstīt ar šo aizvietošanas shēmu (2.10. att.): aktīvs divpols ar maināmu slodzes
pretestību R2 .
Piemērs: līdzstrāvas pārvades līnija - tad spriegums U nozīmē spriegumu līnijas sākumā, UBC -
spriegumu līnijas beigās, UAB - sprieguma kritumu līnijā. R1 - pārvades līnijas vadu pretestību; PAB -
jaudas zudumus līnijā, PBC - slodzes pretestībā izdalīto jaudu. Vai secinājums: “šādā veidā enerăijas
pārvade lielos attālumos nav iespējama” ir pareizs?. Atbildi varat pārbaudīt 3. nodaĜas sākumā.
Otrs piemērs: iegūtos secinājumus var attiecināt uz līdzstrāvas avotu (piemēram, līdzstrāvas
ăeneratoru vai akumulatoru bateriju), uzskatot, ka U attēlo avota EDS, UBC - spriegumu uz avota
spailēm, bet R1 - avota iekšējo pretestību. Grafiks UBC=f(I) - pareizāk, tā sākuma daĜa, - ir tipiska
līdzstrāvas avota ārējā raksturlīkne.
Šos rezultātus izmanto arī, saskaĦojot elektronikas shēmu divas pakāpes, lai no vienas nākošajai
pievadītu vajadzīgo spriegumu vai jaudu: tādā gadījumā U - iepriekšējās pakāpes EDS, R1 - tās izejas
pretestība, UBC - spriegums nākošās pakāpes ieejā, bet R2 - nākošās pakāpes ieejas pretestība, u.t.t.
Jautājumā par visizdevīgāko režīmu viennozīmīga atbilde nav iespējama. Piemēram, enerăētikā -
lielu jaudu gadījumā - noteicošais ir lietderības koeficients, un darba režīmi jāizvēlas daudz tuvāk
tukšgaitai nekā saskaĦotajam režīmam (punkts 1 lietderības koeficienta grafikā 2.12. att.) - Ĝoti tālu no
īsslēguma režīma. Šādu režīmu iegūst, ja, piemēram, avota pretestība R1 ir daudzkārt mazāka par
slodzes pretestību R2. Turpretī nelielas jaudas ėēdēs - piemēram, automātikā vai radiotehnikā - bieži
vien ir nepieciešams nodot no vienas shēmas daĜas otrā maksimāli iespējamo jaudu, nerēėinoties ar
zudumiem - tad izvēlas režīmu saskaĦotā režīma rajonā (2.12. att. - punkts 2).
Nobeigumā nedaudz kuriozs fakts. 19. gs. otrajā pusē viens no ievērojamiem fiziėiem deklarēja, ka līdzstrāvas
avota lietderības koeficients principā nevarot pārsniegt 50% vērtību. Pamatojums tam acīmredzot bija apstāklis, ka
režīmā ar maksimālo patērētājam nododamo jaudu lietderības koeficients tiešām ir 50%. Aplūkojiet uzmanīgi
2.11.,b. att. un 2.12. att. grafikus, un varēsiet viegli novērtēt, vai minētais izteikums ir pareizs.
Lietderības koeficienta atkarība no strāvas.
Līdzstrāvas ėēžu ar vienu avotu analīze (turpinājums)
Līdz šim aplūkojām tikai vienkāršākos aprēėina paĦēmienus, lai tos izmantotu vienkāršāko shēmu
un režīmu analīzei. Galvenās tēzes bija sekojošas: 1) shēmas ar vienu avotu aprēėina, izmantojot
ekvivalentus pārveidojumus, 2) tālāku pārveidošanu neprasa shēmas ar virknes slēgumu un shēmas ar
diviem mezgliem.
Ėēdes ar induktīviem un kapacitīviem elementiem
Induktīvie un kapacitīvie elementi (L un C) būtiski ietekmē pārejas procesu (tie aplūkoti 6. nodaĜā)
raksturu. Katra pārejas procesa sākumā un beigās ir stacionārs režīms. Tāpēc jau šeit aplūkosim dažos
piemēros, kā aprēėināt stacionārus režīmus līdzstrāvas ėēdēs, kuros ir induktīvi vai kapacitīvi elementi.
2.4. piemērs.
2.16.,a att. parādīta līdzstrāvas ėēde ar induktīvu elementu L. Avota spriegums U = 60 V. Tam pieslēgta
shēma ar parametriem: R1 =R2 = 20 , L = 0,5 H. Aprēėināt strāvas.
Atrisinājums.
SaskaĦā ar (2.3), induktīvo elementu aizstājot ar savienotājvadu, iegūstam 2.16.,b att. shēmu.
a) b)
2.16. att.: a) līdzstrāvas ėēde ar induktīvu elementu, b) induktīva elementa aizstāšana ar īsslēgumu.
Shēmā ir posms a-a’ ar īsslēgumu. Tā kā spriegums uz tā Uaa’ = 0, tad viss spriegums U ir pielikts rezistoram R1.
Tad, zinot spriegumus uz rezistoriem, var atrast strāvas tajos:
Strāva I3 induktīvajā elementā saskaĦā ar strāvu vienādojumu mezglam a ir vienāda ar I1:
.
Strāva īsslēgtajā posmā aa’ plūst tikai pa zaru ar induktīvo elementu, kura pretestība vienāda ar nulli.
2.5. piemērs.
2.17.,a att. parādītā shēma pieslēgta spriegumam U = 60 V. Dots: R1 = 10 , R2 = 20 , C = 0,5 μF. Aprēėināt
strāvas un spriegumu uz kapacitīvā elementa (Uab).
a) b)
I1
I3=0
R2 I2
a
b
U
R1
2.17. att.: a) līdzstrāvas ėēde ar kapacitīvu elementu, b) kondensatora aizstāšana ar pārtraukumu.
Atrisinājums.
SaskaĦā ar vienādojumu (2.4) kapacitīvo elementu var aizstāt ar pārtraukumu shēmā (t.i., ar bezgalīgi lielu
pretestību) - 2.17.,b att.
Tā kā strāva I3 ir vienāda ar nulli, tad strāvas I1 un I2 ir vienādas. Spriegums U ir vienāds ar sprieguma
kritumu summu uz abiem rezistoriem; atrodam strāvas un spriegumu uz kondensatora:
A
R R
U
U R I R I R R I I I 2
10 20
) 60 (
1 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 ,
.
Līdzstrāvas ėēdes ar vairākiem avotiem: aprēėina metodes
Šeit aplūkosim dažas no metodēm, kuras lieto, risinot elektrisko ėēžu aprēėina uzdevumu: doti visu
avotu spriegumi vai EDS, visu pārējo elementu parametri; jāaprēėina visas strāvas, kā arī atsevišėu
ėēdes daĜu spriegumi un jaudas.
Jebkuru ėēdi var aprēėināt ar Kirhofa vienādojumu metodi: vienādojumus konkrētai ėēdei sastāda,
izmantojot abus Kirhofa likumus. Iegūst vienādojumu sistēmu, kurā vienādojumu skaits sakrīt ar
nezināmo strāvu skaitu (vai, citiem vārdiem, ar ėēdes zaru skaitu). Jebkuras shēmas aprēėinam var
lietot arī kontūrstrāvu metodi, kas ir Kirhofa vienādojumu metodes moidifikācija. Shēmām ar diviem
mezgliem (neatkarīgi no nezināmo strāvu skaita) vispār var iztikt bez vienādojumu sistēmas
risināšanas, ja izvēlas mezglu sprieguma metodi. Protams, lietojot kontūrstrāvu vai mezglu sprieguma
metodi, kopējais izmantojamo vienādojumu skaits nesamazināsies, taču daĜa no tiem vairs nebūs
vienādojumu sistēmas sastāvā.
Visu minēto metožu, kas šajā nodaĜā aplūkotas līdzstrāvas ėēžu gadījumā, lietošanas principi (bet
ne vienmēr formulas) ir izmantojami arī, aprēėinot maiĦstrāvas ėēdes.
Kirhofa vienādojumu metode
Vienādojumu sistēmu sastāda, izmantojot abus Kirhofa vienādojumus.
• Shēmā apzīmē visas nezināmās strāvas, brīvi izvēloties to pozitīvos virzienus.
• Visiem shēmas mezgliem, izĦemot vienu no tiem, sastāda strāvu vienādojumus pēc pirmā
Kirhofa likuma.
• Izmantojot otro Kirhofa likumu, sastāda vienādojumus visiem neatkarīgiem kontūriem, brīvi
izvēloties kontūra apejas virzienus. Par neatkarīgu sauc kontūru, kurā ir viens iepriekšējos
vienādojumos neizmantots zars.
• Izveidojas vienādojumu sistēma ar vajadzīgo vienādojumu skaitu. Atrisinot to, atrod visas
nezināmās strāvas. Ja kādas strāvas vērtība ir negatīva, tas nozīmē, ka patiesais šīs strāvas
virziens ir pretējs pretējs sākotnēji pieĦemtajam (t. i., strāvas bultiĦas virzienam).
2.6. piemērs.
1 2 3
R2
R3
R4
a b
c c
I2
I3 I5
I4 I1
R1
E1
E2
R5
2.18.att. Shēma aprēėinam ar Kirhofa vienādojumu metodi.
2.18. att. shēmā doti avotu EDS: E1 = 90 V, E2 = 90 V. Pretestību vērtības: R1 = 40 , R2 = 10 , R3 = 29,3 ,
R4 = 10 , R5 = 20 . Jāaprēėina visas strāvas.
Atrisinājums.
1. Shēmā ir 5 zari. Apzīmējam strāvas visos zaros, brīvi izvēloties to pozitīvos virzienus.
2. Shēmā ir 3 mezgli, apzīmējam tos (a, b, c). Diviem no tiem sastādām strāvu vienādojumus pēc pirmā
Kirhofa likuma (mezgliem a un b):
.
3. Izvēlamies 3 neatkarīgus kontūrus 1, 2 un 3. Brīvi pieĦemam to apejas virzienus - 2.17. att. ar bultiĦām
parādīts, ka visus kontūrus apejam pulksteĦa rādītāja kustības virzienā. Šiem kontūriem sastādām
vienādojumus pēc otrā Kirhofa likuma:
4. Atrisinot 5 vienādojumu sistēmu, atrodam visas strāvas:
Mezglu sprieguma metode
Mezglu sprieguma metode ir sevišėi efektīva, aprēėinot shēmu, kurā ir tikai 2 mezgli - neatkarīgi
no zaru skaita tajā. Izrādās, ka tad vienādojumu sistēmas vietā ir iespējams risināt katram zaram
sastādītu vienādojumu. Ja spriegums starp abiem mezgliem ir zināms, tad katrā vienādojumā ir tikai
viens nezināmais - attiecīgā zara strāva.
Risinājuma plāns ar mezglu sprieguma metodi.
• Apzīmē shēmā abus mezglus. Brīvi izvēlas zaru strāvu virzienus un atzīmē tos shēmā.
• Atrod mezglu spriegumu (mezglu apzīmējumi šeit: A un B), izmantojot formulu:
kur n - shēmas zaru skaits,
E - zara EDS algebriskā summa; ja EDS vērsts mezgla A virzienā, to uzskata par pozitīvu,
g - zara vadītspēja, t.i. zara pretestību summai apgriezts lielums (1/R).
Gadījumam, kad shēmā ir kāds zars bez rezistīvā elementa, formula (2.10) nav piemērota, jo
nav pieĜaujama dalīšana ar nulli. Bet tad šī formula nemaz arī nav vajadzīga: zarā ir tikai EDS,
un sprieguma UAB vērtību var atrast, izmantojot vienādojumu (2.1).
• Pēc tam katram zaram uzraksta spriegumu vienādojumu - izmantojot (2.5). Spriegumus tajā
aizstāj ar EDS (2.1) vai strāvas un pretestības reizinājumu (2.2). Katrā šādā vienādojumā ir viens
nezināmais - zara strāva.
• Atrisinot atsevišėi katru no šiem vienādojumiem, atrod visas zaru strāvas.
Formula mezglu sprieguma UAB aprēėināšanai iegūta šādi.
Izvedumā pieĦem, ka visu strāvu pozitīvos virzieni vērsti uz mezglu A. Spriegumu vienādojumi zariem:
.
Vienādojumos - saskaĦā ar (2.2) - visas strāvas ir ar mīnusa zīmi, jo tās vērstas pretī sprieguma virzienam. Tie
EDS, kuri vērsti sprieguma UAB virzienā (no A uz B) - saskaĦā ar (2.1), - ir ar mīnusa zīmi, bet tie EDS, kuru
bultiĦas vērstas mezgla A virzienā - ar plusa zīmi.
Izsakot zaru strāvas no spriegumu vienādojumiem:
.
Ar g apzīmēta katra zara vadītspēja - pretestībai apgriezts lielums.
SaskaĦā ar pirmā Kirhofa likuma izteiksmi mezglam A visu zaru strāvu summa vienāda ar nulli, tāpēc:
Ii E g U g
i
n
i i
i
n
AB i
i
n
= ± − =
= = =
Σ Σ Σ
1 1 1
0
Izsakot no šī vienādojuma mezglu spriegumu UAB, iegūsim izteiksmi (2.10). Tās skaitītājā ir algebriska
summa, kurā katrs saskaitāmais ir viena zara EDS reizinājums ar šī zara vadītspēju. Ja EDS bultiĦa vērsta mezgla
A virzienā, to izteiksmē ievieto ar plusa zīmi, ja mezgla B virzienā - ar mīnusa zīmi. Izteiksmes saucējā ir visu
zaru vadītspēju aritmētiskā summa.
2.8. piemērs.
2.20. att. Shēma 2.8. piemēram.
2.20. att. parādītajā shēmā doti avotu EDS: E1 = 100 V,
E3 = 15 V, E4 = 35 V, pretestību vērtības: R1 = 2,5 , R2
= 25 , R3 = 30 , R4 = 10 . Aprēėināt visas strāvas
un sastādīt jaudu bilanci.
Atrisinājums.
1. Apzīmējam shēmā visu zaru strāvas. Tā kā virzieni nav zināmi, tad tos pieĦem brīvi.
2. Shēmā ir 2 mezgli (a un b). Spriegumu starp tiem atrodam, izmantojot formulu (2.10):
.
EDS E3 šajā izteiksmē ir ar mīnusa zīmi, jo tā bultiĦas virziens vērsts prom no mezgla a. Ievērojiet, ka
saucējā ir visu zaru (arī to zaru, kuros EDS nav) vadītspēju aritmētiskā summa.
3. Sastādām spriegumu vienādojumu (2.5) katram zaram, mezglu spriegumu UAB izsakot ar spriegumiem uz
visiem attiecīgā zara elementiem. Uzskatāmības dēĜ visi punkti zaros apzīmēti (c, d, e). Spriegumus
izteiksmes labajā pusē aizstājam ar E vai RI, izmantojot elementu vienādojumus (2.1) un (2.2).
.
Zīmes šajos vienādojumos nosaka elementu vienādojumi (2.1) un (2.2).
Jāievēro, ka "tabulas vienādojumi" doti kopā ar.zīmējumu (2.1) vai (2.2), kurā abu elektrisko lielumu
(U un E vai U un I) pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt. Piemēram, 1. zara spriegumu vienādojums satur
spriegumu Uac, kura pozitīvais virziens shēmā vērsts uz leju. Aizstājot to ar E1, kura bultiĦa vērsta pretēji
šim virzienam, zīme būs pretēja nekā vienādojumā (2.1) - pozitīva. Aizstājot spriegumu Ucb (vērsts uz leju)
ar R1I1 (strāvas bultiĦa vērsta uz augšu), arī jāmaina zīme, salīdzinot ar elementa vienādojumu (2.2).
4. No vienādojumiem izsakām un aprēėinām zaru strāvas:
.
Mīnusa zīme strāvai I4 nozīmē, ka tās patiesais virziens ir pretējs shēmā parādītajam.
Iegūto rezultātu pārbaudei var izmantot, piemēram, pirmo Kirhofa likumu. Uzrakstām to mezglam a un
pārliecināmies, ka aprēėina rezultāti saskan ar to:
Jaudu bilances sastādīšana
Jaudu bilances sastādīšana ir darbietilpīgāks pārbaudes veids, taču tas atĜauj novērtēt enerăētiskos
procesus shēmā. Sastādīt jaudu bilanci nozīmē noteikt, kuri no EDS darbojas kā avoti, un aprēėināt to
kopējo ăenerēto jaudu. Šai jaudai jābūt vienādai ar visu patērētāju (tie ir pārējie EDS un visi rezistīvie
elementi) kopējo patērēto jaudu.
2.9. piemērs.
Sastādīsim jaudu bilanci iepriekšējā piemērā aprēėinātajai shēmai.
Vispirms noteiksim katra EDS darba režīmu. E1 un E3 ir avoti (ăeneratori), jo E1 un I1 pieĦemtie pozitīvie
virzieni (bultiĦu virzieni shēmā) sakrīt, tāpat arī E3 un I3 bultiĦu virzieni. Šie pieĦemtie pozitīvie virzieni ir arī
patiesie, jo strāvu I1 un I3 aprēėinātās vērtības ir pozitīvas. Spriežot pēc E4 un I4 bultiĦu virzieniem shēmā, arī E4
nosacīti darbojas avota režīmā. Tomēr tas, ka jauda P4=E4I4=35·(–4) nozīmē, ka šī EDS režīms ir pretējs
pieĦemtajam: E4 patiesībā ir patērētājs.
EDS un strāvu zīmes jau izmantojām, nosakot elementu E1, E3 un E4 darba režīmu, tāpēc jaudu bilancē
ievērosim tikai reizinājumu EI absolūto vērtību. Avotu (ăenerētā) jauda:
.
Patērētāji ir visi rezistīvie elementi un EDS E4. Kopējā patērētā jauda:
Patērētā jauda ir vienāda ar ăenerēto jaudu, tātad aprēėins ir izdarīts pareizi.
Ekvivalentā ăeneratora metode
Ekvivalentā ăeneratora metodi lieto, aprēėinot un analizējot elektriskās ėēdes, kurās ir maināma
slodzes pretestība. Pārējo ėēdes daĜu, kurā ir avots vai avoti, aizstāj ar ekvivalentu ăeneratoru (2.21.,b
att.) - vienkāršu aktīvu divpolu: EDS E virknē ar iekšējo pretestību R. Tādu shēmu (2.21.,a att.)
aprēėināt ir vienkārši. Arī šīs shēmas analīze ikreiz nav jāatkārto – to jau izdarījām šīs nodaĜas
apakšnodaĜā “Aktīva divpola darba režīmi”.
Atliek vienīgi noskaidrot, kā atrast aktīvā divpola parametrus: EDS un pretestību R.
2.21.,b att. parādīts aktīvs divpols tukšgaitas režīmā: tā izejā maināmā rezistora vietā ir ėēdes
pārtraukums, atbilstoši tukšgaitas nosacījumam (I = 0). Vienādojums
rāda, ka EDS vērtību var uzzināt, aprēėinot vai izmērot ekvivalentā ăeneratora spriegumu tukšgaitā.
Ekvivalentā ăeneratora pretestību R nosaka, izveidojot īsslēgumu maināmās slodzes pretestības
vietā (2.21.,c att.). Ja strāva šajā shēmā būtu zināma, tad pretestību R varētu atrast, izmantojot sakarību:
EDS E ir jau zināms no tukšgaitas režīma. Tātad, lai aprēėinātu pretestības R vērtību, jānosaka
īsslēguma strāva.
a) b)
I=0
U
E
R
c)
U=0
E
R
2.21. att. a) vienkāršākais aktīvais divpols (E virknē ar R), slogots ar maināmu pretestību,
b) šis divpols tukšgaitas režīmā, c) īsslēguma režīmā.
Aplūkotais princips attiecināms arī uz jebkuru (ne tikai vienkāršāko) aktīvo divpolu.
Tātad aktīvā divpola parametrus var noteikt šādi: ekvivalentais EDS E ir spriegums aktīvā divpola
tukšgaitas režīmā, bet ekvivalento pretestību R iegūst, izdalot šo EDS ar īsslēguma režīmā aprēėināto
strāvu divpola izejā.
Ekvivalento pretestību R iespējams atrast arī vienkāršāk.
Maināmo slodzes pretestību Rsl aizstāj ar pārtraukumu, visus EDS aizvieto ar savienotājvadiem un
nosaka ekvivalento pretestību attiecībā pret slodzes pretestības izvadiem.
2.10. piemērs.
Dota shēma (2.21.,a att.) ar šādām parametru vērtībām: E1=40 V, E2=10 V, R1=10 , R2=40 . Aprēėināt
strāvu slodzes rezistorā R3 un spriegumu uz tā 3 režīmos: ja pretestības R3 vērtības ir 10 , 20 un 30 .
a) b) c)
2.22. att.: a - aktīvs divpols ar maināmu slodzi R3, b - tukšgaitas režīmā, c - īsslēguma režīmā.
Atrisinājums.
Shēmu ārpus maināmā rezistora R3 aizstāsim to ar ekvivalentu ăeneratoru un noteiksim tā parametrus E un R.
1) Izveidojam shēmā tukšgaitas režīmu (2.21.,b att.). Ievērojam, ka šajā shēmā I1 = I2. Uzrakstām vienādojumu
pēc otrā Kirhofa likuma, no tā atrodam strāvu I1.
.
Ekvivalento EDS atrodam, izmantojot spriegumu vienādojumu (2.5) un vienādojumus (2.1) un (2.2):
E UAB E R I V 40 10 1 30 1 1 1 .
.
2) Izveidojam shēmā īsslēguma režīmu (2.21.,c att.). Lai noteiktu īsslēguma strāvu, atrodam strāvas I1 un I2 .
Visvieglāk to izdarīt, sastādot otrā Kirhofa likuma izteiksmes diviem shēmas kontūriem, no kurienes seko:
Īsslēguma strāvu atrodam, sastādot strāvu vienādojumu:
3) Zinot ekvivalento EDS un īsslēguma strāvu, varam atrast otru divpola parametru - pretestību R:
A
B
R1
R2 I2
I1
2.23.att.
Vienkāršāks paĦēmiens ekvivalentās pretestības R noteikšanai:
shēmā (2.22.,a att.) slodzes pretestību R3 aizstāj ar ėēdes pārtraukumu un
katru EDS aizstāj ar savienotājvadu. Iegūst 2.23.att. parādīto shēmu.
Pretestības R1
un R2 ir slēgtas paralēli, tāpēc to ekvivalentā pretestība ir
4 ) Tagad abi ekvivalentā ăeneratora (2.21.,b att.) parametri zināmi: E
= 30 V un R = 8 . Rezistoru R3 (ar
maināmu pretestības vērtību), pieslēdz ăeneratora izejai - punktiem A un B (2.21.,a att.). Šajā shēmā viegli
aprēėināt strāvu un spriegumu ăeneratora izejā pie jebkuras R3 vērtības. Piemēram, ja divpols slogots ar
pretestību R3 = 10 :
.
Ievietojot šajās izteiksmēs citas R3 vērtības, varam aprēėināt jebkuru režīmu, piemēram:
ja R3 = 20 : I = 1,07 A, UAB = 21,4 V;
ja R3 = 30 : I = 0,79 A, UAB = 23,7 V.
3. NODAěA
MAIĥSTRĀVAS ĖĒDES
Konkurences cīĦā ar līdzstrāvu maiĦstrāva izrādījās pārāka jau 19. gs. beigās, kad bija radīti
priekšnoteikumi elektriskās enerăijas pārvadīšanai lielākos attālumos. Enerăijas piegāde patērētājiem
lielā attālumā bez pārmērīgiem jaudas un sprieguma zudumiem pārvades līnijā iespējama tikai, ja
ievērojami samazina strāvu pārvades līnijā - tātad, ievērojami paaugstinot spriegumu. Transformatoru,
kuru uzdevums ir spriegumu paaugstināt pārvades līnijas sākumā un pazemināt līnijas beigās, darbības
principa pamatā ir elektromagnētiskās indukcijas likums, tādēĜ tie var būt tikai maiĦstrāvas aparāti.
Visplašāk sastopami ir elektriskās enerăijas avoti, kuru EDS vai spriegums laikā mainās pēc
sinusa likuma. Elektriskās ėēdes ar šādiem avotiem sauc par sinusoidālas maiĦstrāvas (vai turpmāk
vienkārši par maiĦstrāvas) ėēdēm. Visbiežāk maiĦstrāvas ėēdēs avotu EDS mainās ar 50 hercu (Hz)
frekvenci. Ėēdēs ar lineāriem elementiem (R, L, C) tad arī visas strāvas un spriegumi mainās
sinusoidāli - ar tādu pašu frekvenci.
MaiĦstrāvas ėēžu aprēėini un analīze ir sarežăītāki, salīdzinot ar līdzstrāvas ėēdēm. Ja līdzstrāvas
ėēdē katru elektrisko lielumu pilnībā raksturo tā skaitliskā vērtība, tad aprēėinot maiĦstrāvas ėēdi,
nepietiek zināt tikai sinusoidālu spriegumu (strāvu) amplitūdas vērtības. Piemēram, sinusoīdu
saskaitīšanu vai reizināšanu - (1.5), (1.6), (1.7) - būtiski iespaido šo sinusoīdu fāžu nobīde (savstarpējā
nobīde laikā). Lai efektīvāk veiktu darbības ar sinusoidāliem spriegumiem un strāvām (saskaitīšanu,
reizināšanu un atvasināšanu) un vispār izvairītos no diferenciālvienādojumu risināšanas, ir izveidotas
divas maiĦstrāvas ėēžu analīzes pamatmetodes.
Pirmā no tām, vektoru diagrammu metode pamatojas uz sinusoidālu strāvu un spriegumu
aizstāšanu ar vektoriem (tad diviem sinusoīdas parametriem - amplitūdai un sākuma fāzei - atbilst divi
vektora parametri: modulis un virziens). Šī metode atĜauj sastādīt formulas konkrētās shēmas
aprēėinam, izmantojot šai shēmai uzzīmētu vektoru diagrammu. Vektoru diagrammu metode paredzēta
vienkāršāko shēmu analīzei, taču ir uzskatāma, un tās paĦēmienus var izmantot, aprēėinot arī
sarežăītākas maiĦstrāvas ėēdes.
Otra, t.s. simboliskā metode ir tīri analītiska, un to var izmantot jebkuras sarežăītības pakāpes
maiĦstrāvas shēmu aprēėinam. Šeit spriegumu un strāvu sinusoīdas, kā arī elementu pretestības un
divpolu jaudas attēlo ar kompleksiem lielumiem (kompleksam skaitlim arī ir divi parametri: modulis
un arguments). Aprēėinos jālieto komplekso skaitĜu algebra, toties pati pieeja ievērojami vienkāršojas:
iespējams pilnībā lietot līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodiku.
Šajā nodaĜā aplūkota vektoru diagrammu metode. Simboliskā metode - nākošajā nodaĜā.
Pamatjēdzieni un pieĦemtie apzīmējumi
Sinusoīdas fāzes
Lūk, daži sinusoidālu funkciju piemēri: sin x, sin 314t, sin (ωt+π/3), sin(ωt −45o). Sinusoīdas fāze ir
tās argumenta vērtība - minētajos piemēros attiecīgi: x, 314t, ωt+π/3, ωt−45o. Neatkarīgi no
argumenta rakstura jebkura sinusoīda ir periodiska funkcija ar periodu 2π vai 360o, visi tās periodi ir
identiski. Tāpēc novērtēt fāzi kādā sinusoīdas punktā, būs ērtāk, ja uzskatīsim, ka šis punkts atrodas
argumenta galvenajā intervalā: diapazonā no −π līdz π (jeb no −180o līdz 180o).
3.1 att.
sin 0o = 0,000
sin 30o = 0,500
sin 45o = 0,707
sin 60o = 0,866
sin 90o = 1,000
Pamatjēdzienu "fāze" ilustrē 3.1. att. Redzam, ka (neatkarīgi no ordinātu ass novietojuma!)
negatīvā pusperioda laikā sinusoīdas fāze mainās no −π līdz 0 (radiānos) vai no −180o līdz 0o (grādos).
Pozitīvā pusperioda laikā - attiecīgi no 0 līdz π vai no 0 o līdz 180 o. Pozitīvam sinusoīdas
maksimumam atbilst fāze π/2 (vai 90o), bet punktā ar lielāko negatīvo vērtību fāze ir −π/2 (vai −90 o).
Ievērojiet, ka fāze ir vienāda ar nulli vienīgi punktā, kur sinusoīda šėērso abscisu asi pieaugot, t.i.,
pozitīvā pusperioda sākumā,.
Blakus 3.1. attēlam dotas dažām fāzes vērtībām atbilstošās sinusu vērtības pozitīvajā pusperiodā.
Kā redzēsim vēlāk, uz fāzes jēdzienu pamatojas tādi jēdzieni kā “sinusoīdas sākuma fāze” un “fāžu
nobīde”. Pēdējam no tiem ir vissvarīgākā loma maiĦstrāvas ėēžu teorijā.
Sinusoidāla sprieguma (strāvas, EDS) parametri
Sinusoidāli laikā mainīgu elektrisku lielumu (piemēram, spriegumu) analītiski pieraksta tā:
Piemēram, 220 voltu maiĦsprieguma (U=220 V) momentānās vērtības izteiksme:
Šeit u – sprieguma momentānā vērtība, U – efektīvā vērtība, Um - maksimālā vērtība (jeb amplitūdas
vērtība). Jau minējām, ka sinusoīdas argumentu - izteiksmi iekavās: (ωt + ψ) - sauc par fāzi. Fāzes
sākuma vērtība laika momentā t=0 ir ψ − to sauc par sākuma fāzi. Viens no lielumiem, kas rāda
sinusoīdas izmaiĦas ātrumu ir ω - leĦėiskā frekvence.
3.2.att. Sprieguma laika diagrammas piemērs.
Laikā mainīgus elektriskus lielumus attēlo ar
laika diagrammām - uz abscisu ass atliek
laiku t (vai lielumu ωt, kuru mērī radiānos
vai grādos). Laika diagrammā redzama
sinusoidāla sprieguma u(t) maksimālā
vērtība Um, periods T un sākuma fāze ψ .
Sinusoīdas parametrus var iedalīt trīs grupās.
periods T, frekvence f un leĦėiskā frekvence ω.
Periods T parādīts laika diagrammā (3.2. att.) - tas ir
mazākais laika intervāls starp diviem punktiem ar vienādām fāzēm. Piemēram, starp divu pozitīvo
pusperiodu sākuma punktiem. Ja abscisu asi graduē sinusoīdas argumenta mērvienībās (laika t vietā -
reizinājums ωt), tad periodam T atbilst šī lieluma izmaiĦa par 2π.
Periodu skaitu sekundē sauc par frekvenci, to apzīmē ar f un mērī hercos (Hz). Daudzās valstīs ar
metrisko mērvienību sistēmu, tajā skaitā Latvijā, pieĦemtā rūpnieciskā frekvence ir 50 Hz. Sinusoīdas
fāzes izmaiĦas ātrums - radiāni sekundē (to sauc par leĦėisko frekvenci un apzīmē ar ω) - ir 2π reizes
lielāks par frekvenci f. Sakarības starp trīs frekvenci raksturojošiem parametriem ir:
f = 1/T, ω = 2πf.
.
maksimālā vērtība un efektīvā vērtība
Maksimālā (amplitūdas) vērtība (Um, Im vai Em)
sastopama gan sinusoīdas izteiksmē, gan arī laika diagrammā. Taču aprēėinos, elektriskajos mērījumos
utt. daudz biežāk lieto efektīvās vērtības (U, I vai E). Par efektīvo vērtību pieĦemts saukt strāvas,
sprieguma vai EDS vidējo kvadrātisko vērtību perioda laikā.
Mainīga lieluma vidējo kvadrātisko vērtību kādā intervālā nosaka šādi: nosaka šī lieluma kvadrāta vidējo
vērtību dotajā intervālā un pēc tam atrod šīs vērtības kvadrātsakni.
Piemēram, sinusoidālas strāvas i =Im sin ωt kvadrāta izteiksme ir
Šīs izteiksmes vidējo vērtību (tā ir meklējamās efektīvās vērtības kvadrāts) aprēėina, integrējot izteiksmi perioda
robežās un izdalot ar perioda garumu (T vai 2π):
Parametri, kas raksturo sinusoīdas frekvenci:
Parametri, kas raksturo sinusoīdas amplitūdu:
3.3.att. Funkcijas i2(t) grafiks.
3.3 atttēlā formulas izvedums parādīts
vienkāršāk un pietiekami uzskatāmi:
lūk, sinusoīdas i(t) kvadrāta grafiks,
redzama tā maksimālā vērtība, atrasta
vidējā vērtība, kas ir efektīvās vērtības
kvadrāts.
Izvelkot no tā kvadrātsakni, iegūstam
sakarību starp efektīvo un maksimālo
vērtību.
Tātad sinusoidālas strāvas vidējā kvadrātiskā jeb efektīvā vērtība ir 1,41 reizes mazāka par
maksimālo vērtību. Tas attiecas arī uz sprieguma un EDS vērtībām:
Izdarot mērījumus elektriskajās ėēdēs, mēraparāti uzrāda tieši efektīvās vērtības.
Uzdevumos dotajam spriegumam parasti norāda tikai efektīvo vērtību (piemēram, U = 220 V). Arī
risinājumā meklē strāvu un spriegumu efektīvās vērtības. .
Par sākuma fāzi ψ sauc sinusoīdas fāzi (ωt + ψ) laika momentā t = 0.
Sākuma fāze parādīta arī sinusoīdas grafikā (3.2. att.).
Aprēėinot maiĦstrāvas ėēdes, parasti viena sprieguma vai strāvas sākuma fāzi pieĦem patvaĜīgi,
piemēram, vienādu ar 0, un pēc tam attiecībā pret to nosaka pārējo spriegumu un strāvu fāžu nobīdes.
Fāžu nobīde
Par fāžu nobīdi sauc divu sinusoidālu lielumu fāžu starpību. Visbiežāk nāksies noteikt kāda
divpola (arī elementa) sprieguma un strāvas sinusoīdu fāžu nobīdi. To pieĦemts apzīmēt ar ϕ.
PieĦemsim, ka kāda divpola spriegums un strāva mainās sinusoidāli, ar vienu un to pašu frekvenci,
bet ar dažādām sākuma fāzēm:
Fāžu nobīdi noteiksim, no sprieguma fāzes vērtības atĦemot strāvas fāzes vērtību:
Redzams, ka fāžu nobīde laikā nemainās un ir vienāda ar sākuma fāžu starpību.
Fāžu nobīdi raksturo ar vārdiem “apsteidz fāzē”, “atpaliek fāzē” vai “sakrīt fāzē”. Ja sprieguma
fāze ir lielāka par strāvas fāzi (ϕ > 0), tad saka, ka spriegums apsteidz fāzē strāvu, vai arī - ka strāva
atpaliek fāzē no sprieguma par leĦėi ϕ.
3.4.att. Piemērs sinusoīdu fāžu salīdzināšanai.
3.1. piemērs.
Lai novērtētu divu sinusoīdu fāžu nobīdi 3.4. att.
laika diagrammā, salīdzināsim to fāzes kādā laika
momentā. Momentā t1 pirmajai sinusoīdai fāze ir
45o, kamēr otrai fāze ir 0o. Tātad pirmā sinusoīda
apsteidz fāzē otro par 45o. To pašu rezultātu
iegūsim arī, salīdzinot abu sinusoīdu fāzes laika
momentā t2, kad tās ir 0 o un −45o. Otrā un trešā
sinusoīda sakrīt fāzē, jo to fāzes ikvienā laika
momentā ir vienādas.
Sinusoīdas sākuma fāze
Darbības ar sinusoīdām maiĦstrāvas ėēžu vienādojumos
3.1.tabula . Elektrisko ėēžu pamatformulas.
(1.1) u = −e Reizināšana
(1.2) u = R i ar konstanti
(1.3) u = L di/dt Sinusoīdu
(1.4) i = C du/dt atvasināšana
(1.5) u13 = u12 + u23 Saskaitīšana
(1.6) S Σ ± i = 0 (vai atĦemšana)
(1.7) p = u i Reizināšana
Tabulā sakopotie elektrisko ėēžu pamatvienādojumi, kurus aplūkojām pirmajā nodaĜā, ir spēkā arī
sinusoidālas maiĦstrāvas ėēdēm. Taču tie attiecas uz strāvu, spriegumu, EDS un jaudu momentānajām
vērtībām, bet nekādā ziĦā ne uz efektīvajām vai vidējām vērtībām. Diemžēl, aprēėini ar
momentānajām vērtībām, t.i., ar sinusoīdu izteiksmēm, prasa nepieĜaujami lielu laika patēriĦu un nav
praktiski.
TādēĜ nepieciešams piemērot pamatvienādojumus maiĦstrāvas ėēdēm, lai tajās varētu izmantot
efektīvās vērtības. Ar to arī nodarbosimies. Zemāk parādīts, kāpēc rodas fāžu nobīde, kā tā ietekmē
maiĦstrāvas aktīvo jaudu P, un kā efektīvi veikt sinusoīdu saskaitīšanu.
Elektrisko ėēžu pamatvienādojumos sastopamas četras matemātiskās darbības: sinusoīdas
reizināšana ar konstanti (1.1), (1.2), atvasināšana (1.3), (1.4), vairāku sinusoīdu saskaitīšana/atĦemšana
(1.5), (1.6) un reizināšana (1.7). MaiĦstrāvas ėēžu teorijas metodes izriet tieši no nepieciešamības
efektīvi veikt šīs darbības vai atrast tām alternatīvas metodes.
Sinusoīdas reizināšana ar konstanti
Viegli iegūt divus secinājumus.
• Ja vienādojuma (1.1) labajā pusē EDS mainās sinusoidāli, tad sprieguma fāze ir pretēja EDS fāzei -
atšėiras no pēdējās par 180o.
• Spriegums, ko iegūst (1.2), pareizinot sinusoidālu strāvu ar pretestību R, sakrīt fāzē ar strāvu (ϕ=0).
Sprieguma sinusoīdas amplitūda ir Um = R Im.
Sinusoīdu atvasināšana: fāžu nobīde
Uzzīmēsim kādas sinusoīdas (3.5. att.) atvasinājuma grafiku, zinot, ka atvasinājums ir funkcijas
pieauguma ātrums.
3.5.att. Sinusoīda un tās atvasinājums
Sinusoīdas maksimuma un minimuma
punktos atvasinājuma vērtība ir 0 -
atliekam laika diagrammā punktus “1”.
Tur, kur sinusoīda pieaugot šėērso abscisu
asi, izmaiĦas ātrums ir vislielākais -
atvasinājumam ir vislielākā pozitīvā
vērtība - punkti “2”. Katra sinusoīdas
pozitīvā pusperioda beigās tā vērtība
samazinās visstraujāk. Punktos “3”
sinusoīdas atvasinājumam ir vislielākā
negatīvā vērtība. Tātad atvasinājuma
grafiks arī ir sinusoīda, tikai nobīdīta fāzē.
Novērtēsim fāžu nobīdi 3.5. att. grafikā. Piemēram, punktos, kur sinusoīdas fāze ir 0o,
atvasinājuma fāze ir 90o. Tātad sinusoīdas atvasinājums apsteidz fāzē šo sinusoīdu par 90o.
Šis secinājums atĜaus izprast divus sekojošus nozīmīgus faktus maiĦstrāvas ėēžu teorijā.
Atvasinājumu satur induktīvā elementa L vienādojums (1.3): u = L di/dt . Spriegums uz šī elementa
ir proporcionāls strāvas atvasinājumam (t.i., šeit strāva i ir sinusoīda, bet spriegums u - atvasinājums).
Tas nozīmē, ka spriegums uz induktīvā elementa apsteidz fāzē šī elementa strāvu par 90 o:
Līdzīgi tam, no kapacitīvā elementa vienādojuma (1.4): i = C du/dt , pieĦemot, ka spriegums
mainās sinusoidāli, izriet, ka strāva (kas proporcionāla sprieguma atvasinājumam) apsteidz spriegumu
fāzē par 90 o.
Tāpēc otra svarīga sakarība, ko izmanto tā vietā, lai ikreiz nodarbotos ar atvasināšanu: spriegums
uz kapacitīva elementa C atpaliek fāzē no strāvas par 90 o:
Kā jau redzējām, rezistīvais elements R - saskaĦā ar vienādojumu (1.2): u = R i. - fāžu nobīdi
neizraisa: rezistīva elementa sprieguma un strāvas sinusoīdas sakrīt fāzē:
Sinusoīdu reizināšana: aktīvās jaudas formula
Ăenerēto vai patērēto enerăiju maiĦstrāvas ėēdēs ērtāk raksturot nevis ar jaudas momentānām
vērtībām p(t), bet ar laikā nemainīgu un ērti izmērāmu lielumu - jaudas vidējo vērtību P. Momentānās
jaudas p vidējo vērtību sauc par aktīvo jaudu (P). Aktīvo jaudu mērī vatos (W).
Lai iegūtu aktīvās jaudas formulu, nosaka momentāno jaudu ar formulu (1.7) p=ui un atrod tās
vidējo vērtību. Apskatīsim vispārīgu gadījumu ar brīvi izvēlētu fāžu nobīdi ϕ. PieĦemsim, ka kāda
divpola strāva mainās sinusoidāli, bet spriegums apsteidz strāvu par ϕ (3.6.,a att. ):
Vispirms atrodam momentānās jaudas izteiksmi:
Momentānās jaudas vidējo vērtību noteiksim, novērtējot katru no pēdējās izteiksmes locekĜiem.
Pirmais no tiem laikā nemainās - tā arī ir vidējā vērtība. Otrs saskaitāmais ir sinusoidāla funkcija, kuras
vidējā vērtība perioda laikā ir 0.
Tātad divpolam ar fāžu nobīdi ϕ momentānās jaudas p vidējā vērtība jeb aktīvā jauda P ir
Šis rezultāts nozīmē, ka divpola aktīvā jauda P ir visai atkarīga no fāžu nobīdes. Piemēram,
induktīvs elements L (ϕ=90°) vai kapacitīvs elements C (ϕ=–90°) aktīvo jaudu nepatērē.
a) b)
3.6.att. Momentānās jaudas p laika diagrammas: a) vispārīgā gadījumā, b) kapacitīvam elementam C.
Zīmējot momentānās jaudas p laika diagrammas (3.6.att), vispirms atrod tos laika momentus, kuros
viens no sareizināmiem lielumiem (u vai i) ir nulle - tad arī momentānā jauda p = 0. Redzam, ka
momentānās jaudas p līkne šėērso abscisu asi divreiz biežāk nekā ar strāva vai spriegums - citiem
vārdiem, momentānā jauda mainās ar divkāršu frekvenci, salīdzinot ar strāvu vai spriegumu.
3.6.,a att. attbilst vispārīgam gadījumam, kad divpola strāva i atpaliek no sprieguma u par leĦėi ϕ.
Redzams, ka laikā, kad strāva un spriegums vienlaicīgi ir pozitīvi vai negatīvi, momentānai jaudai ir
pozitīva vērtība. Ja tikai viens no šiem lielumiem ir pozitīvs – jauda p ir negatīva.
3.6.,b att. parādīts viens no robežgadījumiem, kad divpols ir kapacitīvs elements C. Zinām, ka tad
fāžu nobīde ϕ=–90°, un strāva apsteidz spriegumu. PieĦemsim, ka shēmā divpola sprieguma un strāvas
pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt - pirmās nodaĜas beigās vienojāmies, ka tad divpols uzskatāms par
patērētāju. Vispirms jau redzams, ka momentānā jaudas p, vidējā vērtība ir 0, jo elements C pusi no
perioda ir avots, otru pusi – patērētājs. Citiem vārdiem, kondensators aktīvo jaudu nepatērē. To var
teikt arī par induktīvo elementu jeb ideālu spoli.
Momentānās jaudas grafiks (3.6.,b att.) rāda, ka ėēdē notiek enerăijas svārstības, kondensatoram
periodiski uzlādējoties un izlādējoties. Piemēram, perioda pirmajā un trešajā ceturtdaĜā, kondensatoram
uzlādējoties, tā sprieguma absolūtā vērtība un elektriskā laukā uzkrātā enerăija (Cu2/2) pieaug - tas
nozīmē, ka elements C ir patērētājs. Perioda otrajā un ceturtajā ceturtdaĜā kondensatoram pakāpeniski
izlādējoties (jo spriegums samazinās), tā enerăija samazinās - kondensators tagad ir avots, kas atdod
enerăiju tīklam vai citiem ėēdes elementiem.
Pārliecināsimies, ka režīmu (avots/patērētājs) var novērtēt arī, nelietojot fizikālus apsvērumus, bet
tīri formāli - ievērojot pieĦemtos pozitīvos virzienus shēmā (tie šeit nozīmē pieĦēmumu, ka divpols ir
patērētājs) un jaudas p zīmi (skat. 3.6. att). 1. un 3. ceturtdaĜperiodā kondensatora patērētā momentānā
jauda p ir pozitīva - tātad pieĦēmums par patērētāja režīmu apstiprinās. 2. vai 4. ceturtdaĜperiodā, kad p
< 0, režīms ir pretējs pieĦemtajam - tagad kapacitīvais elements darbojas kā avots.
Aktīvās jaudas formula un laika diagrammas (3.6.att.) rāda, ka maiĦstrāvas ėēdēs vienīgais aktīvās
jaudas patērētājs ir tikai rezistīvais elements. Acīmredzot tādēĜ tā pretestību R maiĦstrāvas ėēdēs
pieĦemts saukt par aktīvo pretestību. Elementi L un C aktīvo jaudu nepatērē. Tie tikai piedalās
enerăijas svārstībās, kas notiek, periodiski pieaugot un samazinoties spoles magnētiskā lauka vai
kondensatora elektriskā lauka enerăijai. Elementiem L un C lieto kopēju apzīmējumu: reaktīvie
elementi.
Sinusoīdu saskaitīšana: vektoru diagrammas
Un beidzot, pati sarežăītākā darbība ar sinusoīdām - saskaitīšana. Lūk, matemātikas rokasgrāmatās
atrodamās formulas divu sinusoidālu lielumu saskaitīšanai:
Aprēėinot elektriskās ėēdes, nāksies saskaitīt ne tikai divas, bet bieži vien vairākas sinusoidālas
strāvas (spriegumus). Ja saskaitīšanai izmantotu šīs formulas, tas būtu pārāk darbietilpīgi.
Tāpēc maiĦstrāvas ėēžu teorijai un aprēėiniem, kad, piemēram, ar sinusoidālu strāvu saskaitīšanu
sastapsimies visai bieži, atrasts Ĝoti efektīvs paĦēmiens: 1) katru no spriegumu (strāvu) sinusoīdām (pēc
zināma principa) attēlo ar vektoru, 2) sinusoīdu vietā saskaita šos vektorus (nesalīdzināmi vienkāršāka
operācija!), 3) iegūto vektoru summu (izmantojot to pašu principu) interpretē kā sinusoīdu summu.
Te varētu rasties jautājumi:
• vai vispār iespējams tādu sarežăītu objektu kā sinusoīdu aizstāt ar šėietami vienkāršāku - vektoru?
• kāds ir minētais princips sinusoīdas attēlošanai ar vektoru?
Izrādās, ka sinusoīda (ja frekvenci f ir zināma) nesatur vairāk informācijas kā vektors. Sinusoīdu
var raksturot ar diviem parametriem, piemēram,ar efektīvo vērtību un sākuma fāzi. Tāpat arī vektoram
arī ir divi parametri - modulis (garums) un leĦėa arguments (virziens).
Lūk, princips (3.7.,a att.) sinusoidāla sprieguma vai strāvas aizstāšanai ar vektoru.
Sinusoīdu, kuras efektīvā vērtība ir U un sākuma fāze ir ψ, attēlo ar vektoru Ū (3.7.,a att.), kura
modulis atbilst sinusoīdas efektīvajai vērtībai (retāk - amplitūdas vērtībai), bet virziens - sākuma
fāzei.
Dažkārt literatūrā vektora un sinusoīdas savstarpējo atbilstību ilustrē, vektorus uzskatot par
rotējošiem. Ja 3.7.,b attēlā attēlotais vektors rotētu pretēji pulksteĦa rādītāja kustībai, veicot perioda T
laikā vienu apgriezienu, tad katrā laika momentā šī vektora projekcija uz y-ass būtu Um sin(ωt+ψ) -
tātad, vienāda ar sprieguma momentāno vērtību.
Turpmāk nebūs vajadzības iztēloties vektorus rotējam. Uzskatīsim, ka vektoru virzieni ir fiksēti.
a)
U
u=Um sin (ωt+ )
U
ψ
b)
3.7. att.: a) sinusoīdas attēlošana ar vektoru b)divu vektoru summa.
PieĦemsim, ka jāsummē vairākas sinusoīdas (jeb strāvu vai spriegumu momentānās vērtības). Katru
no tām var attēlot ar vektoru. Saskaitot šos vektorus, iegūst vektoru, kas atbilst šo sinusoīdu summai.
Tā kā saskaitīšanas (atĦemšanas) darbības ar vektoriem ir nesalīdzināmi vienkāršākas nekā ar
sinusoīdām, tad maiĦstrāvas ėēdēs strāvu un spriegumu vienādojumus formulē attēlojošiem vektoriem.
Piemēram, spriegumu vienādojums maiĦstrāvai (3.5) ir šāds:
kur 1, 2 un 3 - shēmas punktu apzīmējumi.
Strāvu vienādojums (3.6) jeb pirmais Kirhofa likums maiĦstrāvai
attiecas uz mezgla punktu: strāvu vektoru algebriskā summa shēmas mezglā ir vienāda ar nulli.
Tādējādi šie vienādojumi dod iespēju sinusoidāli mainīgu lielumu summēšanas vietā izpildīt šo darbību ar
vektoriem, kuri vairs nav laika funkcijas. Diemžēl, ar vektoriem, nevis ar skaitĜiem, kādi ir, piemēram, spriegumu
vai strāvu efektīvās vērtības - iet uz vēl tālāku primitivizēšanu, un lietot šajos vienādojumos skaitliskās vērtības
(šāda kĜūda ir redzēta bieži) nedrīkst - tā būtu vislielākā pārdrošība!
Spriegumu vai strāvu saskaitīšanai nebūt nav jāizpilda precīzas grafiskas konstrukcijas ar vektoriem. Tā vietā
pirms aprēėina uzskicē konkrētās shēmas vektoru diagrammu - tās zīmēšanai izmanto strāvu un spriegumu
vienādojumus. Pēc tam no vektoru diagrammas, izmantojot trigonometrijas formulas, izveido izteiksmes ar
spriegumu vai strāvu efektīvajām vērtībām, kuras diagrammā pārstāv vektoru garumi.
Šāda pieeja, kad ar vienādojumus iegūst no iepriekš uzzīmētas vektoru diagrammas, tad arī ir vektoru
diagrammu metodes pamatā. Vēlāk redzēsim, ka virknes slēguma gadījumā vienādojumus iegūst vienkāršāk -no
pretestību trīsstūriem. Vektoru diagrammu metodi galvenokārt lieto samērā vienkāršām shēmām (elementu
virknes slēgumam vai shēmai ar avotam pieslēgtiem paralēliem zariem), taču to iespējams piemērot arī sarežăītāku
ėēžu analīzei, ja tajās izdodas atrast vienkāršākās daĜas ar zināmu strāvu vai spriegumu. Tādas, piemēram, ir 5.
nodaĜā aplūkotās trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdes.
MaiĦstrāvas ėēžu vienādojumi
Iepazināmies ar visiem principiem, kas jāievēro, piemērojot elektrisko ėēžu pamatvienādojumus
(1.1)…(1.7) maiĦstrāvas ėēdēm. Šeit tikai apkoposim un precizēsim iegūtos rezultātus.
Elementu vienādojumi
Arī uz sinusoīdu momentānajām vērtībām attiecas vienādojums (1.1):
u = −e. Tas nozīmē, ka sprieguma u fāze ir pretēja EDS fāzei - fāzes
atšėiras par 180 o. Šādus lielumus attēlo pretējos virzienos vērsti vektori Ē un Ū:
U = −E. (3.1)
Pamatvienādojumi (1.2), (1.3) un (1.4) ir sakarības starp
elementa R, L vai C sprieguma un strāvas momentānajām
vērtībām. Divas pēdējās no tām satur atvasinājumus (d/dt). Lai izvairītos no tiem - tas novestu pie
diferenciālvienādojumu risināšanas -, katru no šīm izteiksmēm aizstāj ar divām: 1) sakarību starp
sprieguma un strāvas efektīvajām vērtībām, 2) elementam raksturīgo fāžu nobīdi ϕ.
Sakarībai starp efektīvajām vērtībām piešėir Oma likuma formu: spriegums, strāva un pretestība. Iegūst
reaktīvo pretestību (induktīvās un kapacitīvās) formulas.
Sinusoidālas strāvas izteiksmi ievietojot rezistīvā elementa R
vienādojumā (1.2), iegūst sprieguma sinusoīdas izteiksmi:
Elementa EDS vienādojums
Elementu R, L un C vienādojumi
a) rezistīvā elementa R vienādojums
1) Sprieguma izteiksmē atrodam efektīvo vērtību: U=RI. 2) Sprieguma un strāvas sinusoīdas sakrīt
fāzē. Tātad rezistīvu elementu R maiĦstrāvas ėēdē raksturo šādas divas sakarības:
Sinusoidālas strāvas izteiksmi ievietojot induktīvā elementa L
vienādojumā (1.3), iegūst sprieguma sinusoīdas izteiksmi:
1) Sprieguma izteiksmē atrodam efektīvo vērtību: U=ωLI. Lai piešėirtu elementa L vienādojumam
Oma likuma formu, ieved jēdienu „induktīvā pretestība“: XL=ωL. 2) Sprieguma izteiksmē fāze ir par
90º lielāka nekā strāvai. Tad induktīvu elementu L maiĦstrāvas ėēdē raksturo šādas divas sakarības:
Sinusoidāla sprieguma izteiksmi ievieto kapacitīvā elementa
C vienādojumā (1.4) un iegūst strāvas sinusoīdas izteiksmi:
1) Strāvas sinusoīdas izteiksmē sameklējam tās efektīvo vērtību: I=ωC U. Lai piešėirtu elementa C
vienādojumam Oma likuma formu, ieved jēdzienu „kapacitīvā pretestība“: XC=1/ωC. 2) Strāvas
izteiksmē fāze ir par 90º lielāka nekā spriegumam. Fāžu nobīde ir sprieguma fāze mīnus strāvas fāze,
tātad šeit tā ir negatīva. Tātad kapacitīvu elementu C maiĦstrāvas ėēdē raksturo šādas divas sakarības:
Aplūkosim induktīvās pretestības XL un kapacitīvās pretestības XC formulas:
To kopējais nosaukums - reaktīvās pretestības. (kopējais apzīmējums: X). Atšėirībā no aktīvās
pretestības R reaktīvās pretestības ir atkarīgas no frekvences (ω vai f), pie tam dažādi. Pieaugot
frekvencei, induktīvā pretestība XL pieaug, bet kapacitīvā pretestība XC samazinās. Tas nozīmē, ka
viena un tā pati ėēde pie dažādām frekvencēm var iegūt atšėirīgas īpašības.
Spriegumu un strāvu vienādojumi
Spriegumu vienādojums vektoriālā formā, kas aizstāj vienādojumu (1.5):
Vienādojumā (3.5) indeksi 1,2 un 3 ir brīvi izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi.
Vienādojums (3.6) ir pirmais Kirhofa likums maiĦstrāvai. Vienādojumu sastāda shēmas mezglam.
Strāvas, kas nosacīti pienāk mezglam (spriežot pēc to bultiĦu virzieniem shēmā), vienādojumā raksta
ar plusa zīmi, bet no mezgla nosacīti aizejošās strāvas - ar mīnusa zīmi. Sastādīto vienādojumu
izmanto, zīmējot vektoru diagrammu.
Vienādojumi (3.5) un (3.6) ir vienīgie no maiĦstrāvas ėēžu pamatvienādojumiem, kuri nav domāti,
lai tajos ievietotu skaitĜus. Šie vienādojumi palīdz uzzīmēt vektoru diagrammu, ko savukārt izmanto,
lai sastādītu vienādojumus ar spriegumu (strāvu) efektīvām vērtībām. Kā zīmēt vektoru diagrammas -
tas ir viens no svarīgākajiem turpmāk apskatāmiem jautājumiem.
Divpola aktīvās jaudas formula
Katru shēmas elementu vai divpolu raksturo viena strāva un viens spriegums. Ja shēmā abu šo
lielumu pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt, tad šāds divpols nosacīti ir patērētājs (pretējā gadījumā -
avots). Divpola patērētās jaudas momentāno vērtību p var noteikt ar vienādojumu (7): p = ui.
MaiĦstrāvasėēdē divpola patērētā aktīvā jauda P (t.i., momentānās jaudas vidējā vērtība) ir atkarīga ne
tikai no sprieguma un strāvas, bet to ietekmē arī fāžu nobīde ϕ:
b) induktīvā elementa L vienādojums
c) kapacitīvā elementa C vienādojums
Lielumu cos ϕ sauc par jaudas koeficientu. Tam ir svarīga nozīme enerăētikā: piemēram, jaudu P
pa līniju ar spriegumu U var pārvadīt ar mazāku strāvas I vērtību, ja cos ϕ vērtība ir lielāka (t.i., tuvāka
lielākai iespējamai vērtībai cos ϕ =1).
Iepazināmies ar pamatvienādojumiem maiĦstrāvas ėēžu gadījumā. Tie satur ievērojami vairāk
jēdzienu nekā 1. nodaĜā aplūkotie vienādojumi, taču tajos nav ne atvasināšanas darbību, ne
sinusoidālu laika funkciju!.
Šie pamatvienādojumi kopā ar dažiem citiem sakopoti sekojošā tabulā.
3.2.tabula. Formulas maiĦstrāvas ėēžu aprēėinam ar vektoru diagrammu metodi.
Vienādojumi Momentānām
vērtībām
Ar vektoru diagrammu
metodi
Elementam E u = −e Ū = −Ē (1.1), (3.1)
Elementam R u = R i U = R I , ϕ = 0° (1.2), (3.2)
Elementam L u = L di/dt U = XL I , jϕ = 90°° (1.3), (3.3)
Elementam C i = C du/dt U = XC I , ϕ = −90° ° (1.4), (3.4)
Virknes slēgumam
U = Z I, ϕ
(3.8)
Spriegumiem u13 = u12 + u23 Ū13 = Ū12 + Ū23
(1.5), (3.5)
Strāvām S Σ ± i = 0 Σ ± Ī = 0 (1.6), (3.6)
P = U I cos ϕj (1.7), (3.7)
Divpola jaudai p = u i Q = U I sin ϕj (3.7a)
S = U I (3.7b)
Tabulā nav parādītas induktīvās un kapacitatīvās pretestības izteiksmes (3.3a) un (3.4a).
Tabulā ir formulas, kuru iegūšanas principi līdz šim vēl nav aplūkoti.
• Vienādojums (3.8) ir piektā “elementa” – virknes slēguma - vienādojums. Zemāk parādīts, ka
elementu virknes slēgumam var zīmēt pretestību trīsstūri, lai no tā iegūtu formulās (3.8)
sastopamos lielumus.
• MaiĦstrāvas ėēdēs pazīstami arī šādi jaudas raksturojoši lielumi: Q - reaktīvā jauda un S - pilnā jeb
šėietamā jauda - to formulas ir (3.7a) un (3.7b), saskaĦā ar jaudu trīsstūri.
Vektoru diagrammas un pretestību trīsstūri
Vektoru diagrammu zīmē pirms shēmas aprēėina - tāpēc, ka formulu tabulā (3.2.tabula) nav
formulu spriegumu vai strāvu efektīvo vērtību saskaitīšanai. Vienādojumi (3.5) un (3.6) atĜauj ne
vairāk, kā tikai zīmēt dotai shēmai vektoru diagrammu. No tās tad arī varēs iegūt formulas strāvu vai
spriegumu saskaitīšanai, kā arī fāžu nobīdes noteikšanai.
Šādu pieeju sauc par vektoru diagrammu metodi un to lieto samērā vienkāršu shēmu aprēėinam un
analīzei: virknes slēgumam un shēmām ar paralēliem zariem. Tomēr nevajadzētu nenovērtēt vektoru
diagrammu metodi divu iemeslu dēĜ. Pirmkārt, vektoru diagrammu metodi lieto sarežăītākās shēmās, ja
tājās atsevišėi spriegumi. Otrkārt, metodi var izmantot jebkuras shēmas aprēėina starprezultātu
kontrolei.
Zīmējot vektoru diagrammu, izmanto:
• trīs elementu (R, L un C) vektoru diagrammas,
• spriegumu un strāvu vienādojumus,
• arī sarežăītāka “elementa” - virknes slēguma - vektoru diagrammu.
Trīs elementu vektoru diagrammas
Zīmējot vektoru diagrammas, jāzina 3.8.att. parādītās 3 elementu vektoru diagrammas (EVD).
Katra no tām rāda konkrēta elementa R, L vai C strāvas un sprieguma vektoru savstarpējo
novietojumu. Piemēram, ja viena vektora (strāvas vai sprieguma) virziens izvēlēts, tad EVD
viennozīmīgi nosaka otra vektora virzienu.
Izmantojot EVD un zīmējot vektoru diagrammas, jāievēro sekojošais:
• EVD attiecas uz konkrēta elementa spriegumu un strāvu.
• Elementa strāvas un sprieguma bultiĦu virzieniem shēmā jāsakrīt.
• Fāžu nobīdes leĦėi –90º<φ<90º vienmēr atliek no strāvas vektora līdz sprieguma vektoram.
• Tāpat kā matemātikā pozitīvs leĦėa virziens ir pretējs pulksteĦa rādītāja kustības virzienam.
Ja leĦėis φ ir pozitīvs: strāva atpaliek fāzē no sprieguma, divpolam ir induktīvs raksturs.
Ja leĦėis φ ir negatīvs: strāva apsteidz fāzē spriegumu, divpolam ir kapacitīvs raksturs.
• Vektoru diagrammā virs vektora apzīmējuma „garumzīmi“ neliek (tekstā vai formulās tas ir
obligāti), jo tāpat ir saprotams, ka diagrammā ir tikai vektori.
3.8.att.
Elementu R, L un C
vektoru diagrammas.
Vektoru diagrammu zīmēšana
Vektoru diagrammu konkrētai shēmai zīmē, lai iegūtu aprēėina formulas spriegumu vai strāvu
saskaitīšanai. Protams, pirms aprēėina strāvu un spriegumu vērtības vēl nav zināmas, un tātad nav
zināmi arī to vektoru garumi - tādēĜ diagrammā mērogam nav sevišėas nozīmes. Taču noteikti jāievēro
vektoru virzieni, ko nosaka EVD (3.8.att) - formulas visbiežāk (uzmanieties: ne vienmēr!) varēs iegūt
no taisnleĦėa trīsstūriem vektoru diagrammās.
Vektoru diagrammas zīmē, izmantojot 3 EVD (3.8 att), kā arī strāvu un spriegumu vienādojumus
(3.5) un (3.6). Pēdējos, starp citu, var izmantot tikai vektoru diagrammu zīmēšanai..
3.2. piemērs.
Uzzīmēsim vektoru diagrammu 3.9.,a att. parādītajai shēmai.
1.Shēmā ir viens spriegums (jo shēmā ir tikai 2 punkti). Izvēlamies apzīmējumu šim spriegumam, kā arī strāvām
elementos R un C (U, I1 un I2). Pozitīvos virzienus shēmā izvēlas tā, lai tie sakristu ar pieĦemto sprieguma
virzienu - lai varētu korekti lietot elementu vektoru diagrammas (3.8. att.). Shēmā vēl ir trešā strāva I - tās
virzienu pieĦemam tā, lai vieglāk uzrakstītu strāvu vienādojumu. Tātad vektoru diagrammā - tāpat kā shēmā -
būs viens spriegums un trīs strāvas.
2. Vektoru diagrammu sākam zīmēt ar sprieguma U vektoru - tādēĜ, ka šis spriegums ir kopējs vairākiem
elementiem - šeit R un C.
3. Izmantojot elementu R un C vektoru diagrammas (3.8. att.), zīmējam diagrammā strāvu I1 un I2 vektorus. Strāva
I1 sakrīt fāzē ar spriegumu U, tāpēc tās vektoru atliek sprieguma virzienā. Strāva I2 apsteidz fāzē spriegumu U
par 90o, tāpēc tās vektoru atliek uz augšu. Vektoru diagrammā vektorus var brīvi pārvietot, saglabājot to
virzienus. Strāvas I2 vektoru zīmējam vektora I1 galapunktā tikai tādēĜ, lai pēc tam sekos vektoru saskaitīšana.
a) b)
I1
I2
I
U
φ
3.9. att.
a) shēma: RC paralēlslēgumā,
b) vektoru diagramma.
4. Nākošo vektoru zīmējam, izmantojot strāvu vienādojumu (3.6) dotajai shēmai: Ī = Ī1 + Ī2 . Diagrammā
saskaitām attiecīgos vektorus.
5. Atliekam fāžu nobīdes leĦėi ϕ (atcerēsimies: vienmēr no strāvas vektora sprieguma vektora virzienā). Redzam,
ka ϕ vērtība ir negatīva – ėēdes raksturs ir kapacitīvs; strāva apsteidz spriegumu par leĦėi ϕ.
Šajā piemērā strāvu vienādojumu (3.6) izmantojām, lai uzzīmētu diagrammu. No tās var iegūt strāvu
vienādojumu ar strāvu efektīvajām vērtībām, ko jau var lietot aprēėinā. Diagramma atĜauj noteikt arī jaudas
koeficientu vai fāžu nobīdes leĦėi.
Virknes slēguma pretestību trīsstūris
Elementi R, L un C ir divpoli: katru no tiem shēmai pievieno 2 punktos, katru no tiem raksturo
viena strāva un viens spriegums. Katra elementa vienādojumi (3.2), (3.3) vai (3.4) satur 2 sakarības:
Oma likuma izteiksmi un elementam raksturīgu fāžu nobīdes φ vērtību.
Arī elementu virknes slēgums ir divpols. Atrast arī šim divpolam divas minētās sakarības nozīmē
atbildēt uz sekojošiem jautājumiem:
• kā noteikt proporcionalitātes koeficientu (to apzīmē ar Z un sauc par virknes slēguma pilno
pretestību) Oma likuma izteiksmei U = ZI ?
• Kā noteikt fāžu nobīdi ϕ starp šī divpola strāvas un sprieguma sinusoīdām?
a) b) c)
3.11.att. a) RLC virknes slēgums, b) vektoru diagramma, c) virknes slēguma pretestību trīsstūris.
Atbildes atradīsim, uzzīmējot shēmai ar elementu R, L un C virknes slēgumu (3.11.,a att.) vektoru
diagrammu. Ėēdei pielikts avota spriegums ar efektīvo vērtību U. Visos virknē slēgtajos elemento plūst
viena un tā pati strāva I. Uz elementiem rodas spriegumi UR , UL un UC. Katru no šiem sinusoidālajiem
lielumiem attēlosim ar vektoru. Tātad vektoru diagrammā būs 5 vektori.
Vektoru diagrammu (3.11.,b att.) sākam zīmēt ar strāvas I vektoru, jo tā ir kopēja visiem
elementiem. Izmantojot trīs elementu vektoru diagrammas, atrodam trīs spriegumu vektoru virzienus.
Kopējā sprieguma vektoru atrodam, izmantojot spriegumu vienādojumu:
Diagrammas zīmēšanu pabeidzam, apzīmējot fāžu nobīdes leĦėi ϕ.
Ievērojiet, ka visi spriegumi vektoru diagrammā ir proporcionāli strāvai I:
U R U X I U X I R L L C C I, ,
- saskaĦā ar elementu vienādojumiem (3.2), (3.3) un (3.4), un pat arī U = ZI - atcerieties, ka to
pieĦēmām, lai noteiktu pagaidām nezināmo divpola pilno pretestību Z.
Izdalot katru no spriegumiem ar strāvu I, iegūsim vektoru diagrammai līdzīgu pretestību trīsstūri
(3.11.,c att.). No pretestību trīsstūra izriet formulas elementu virknes slēguma pilnās pretestības Z un
fāžu nobīdes leĦėa ϕ vai jaudas koeficienta cos ϕ noteikšanai, piemēram:
Sakarība starp sprieguma un strāvas efektīvajām vērtībām divpolam “virknes slēgums” ir
Virknes slēguma pilno pretestību Z un fāžu nobīdes leĦėi ϕ atrod no pretestību trīsstūra (3.8a).
Atcerēsimies, kā ieguvām pretestību trīsstūri: izdalot vektoru diagrammas spriegumus ar kopējo
strāvu. Tātad zīmēt pretestību trīsstūri un lietot formulas (3.8) un (3.8a) drīkst nevis jebkurai shēmai
vai shēmas daĜai, bet gan tikai virknes slēgumam, jo tikai virknes slēguma visos elementos plūst viena
un tā pati strāva.
Pretestību trīsstūri zīmē šādā secībā (3.11.,c att. tā parādīta ar bultiĦām):
• horizontāli pa labi atliek virknes slēguma rezistīvajai pretestībai atbilstošu nogriezni R (ja slēgumā
ir vairākas šādas pretestības - atbilstošu to summai),
• šī nogriežĦa galapunktā uz augšu atliek nogriezni, kas atbilst induktīvajai pretestībai XL,
• no šī nogriežĦa galapunkta uz leju - nogriezni, kas atbilst kapacitīvajai pretestībai XC,
• savienojot minētās konstrukcijas sākuma un beigu punktus, iegūst nogriezni, kas attēlo pilno
pretestību Z,
• - ϕ ir leĦėis starp horizontālo kateti R un hipotenūzu Z; leĦėi ϕ atliek virzienā no horizontāles (R).
Pretestību trīsstūris bieži vien ir uzskatāmāks par formulām (3.8). Mainot kādu no virknes slēguma
pretestībām, vieglāk ir izsekot izmaiĦām pretestību trīsstūrī, nekā izanalizēt tās ar formulām (3.8).
a) b)
φ
XC
XL
Z
R
c)
3.12.att. Pretestību trīsstūru piemēri: a) RC ėēdei, b) RLC ėēdei, c) LC ėēdei.
3.4. piemērs.
3.12. attēlā redzami pretestību trīsstūru piemēri dažādiem shēmu fragmentiem ar elementu virknes slēgumu:
3.12.,a att. - shēmai ar virknē slēgtiem elementiem R un C, 3.12.,b att. - shēmai ar virknē slēgtiem elementiem R,
L un C, ja induktīvā pretestība XL ir mazāka par kapacitīvo pretestību Xc, 3.12.,c att. - virknē slēgti elementi L un
C: ja R=0, tad fāžu nobīde ir vai nu 90o vai −90o: atkarībā no tā, kura no reaktīvajām pretestībām - induktīvā vai
kapacitīvā - ir pārsvarā.
Ievērojiet, ka leĦėi ϕ atliek no horizontāles. Ja induktīvā pretestība ir lielāka par kapacitīvo, tad ϕ >0, pretējā
gadījumā ϕ ir negatīvs.
Kad pretestību trīsstūri labāk nezīmēt.
Pretestību trīsstūri, protams, var zīmēt tikai virknes slēgumam. Bet arī tad, gadījumā, kad R=0 (skat. 3.12.,c),
trīsstūris reducējas par taisni Pilnā pretestība Z tad ir vienāda ar reaktīvo pretestību starpību, bet fāžu nobīdi
novērtēsim, atliekot leĦėi ϕ no bezgalīgi mazas horizontālās katetes (R≈0)..
.Fāžu nobīdi vienkāršāk var atrast no vienādojuma (3.8a), kas iegūts no RLC ėēdes pretestību trīsstūra, bet der
katram virknes slēgumam:
ϕ = arcsin
X X
Z
L − C
.
Nepareizi būtu lietot arccos funkciju, jo tad var pazaudēt leĦėa ϕ zīmi.
Vēl vienkāršāk rīkoties tā: elementu L un C virknes slēgumu, ja XL>XC, var aizstāt ar induktīvu elementu L.
Tā induktīvā pretestība ir XL−XC, bet fāžu nobīde ϕ = 90º. Un otrādi, ja XC>XL, tad virknes slēgumu aizstāj ar
kapacitīvu elementu C, kura kapacitīvā pretestība ir XC−XL, bet fāžu nobīde ϕ =−90º.
MaiĦstrāvas ėēžu praktiski piemēri
Aktīvās jaudas mērīšana
Aktīvo jaudu mērī ar vatmetru. Vatmetra apzīmējums shēmās parādīts 3.21.,a att. Atšėirībā no
ampērmetra vai voltmetra vatmetram ir 4 pieslēgu spailes (3.21.,b att.), jo tam ir strāvas ėēde ar
izvadiem 1 un 2 un sprieguma ėēde ar izvadiem 3 un 4. Lieto arī terminus "strāvas spole" un
"sprieguma spole", jo elektrodināmiskās sistēmas vatmetra darbība pamatojas uz divu spoĜu radītu
magnētisko lauku mijiedarbību. Atšėirībā no ampērmetra un voltmetra, vatmetram ir 2 mērapjomi:
strāvai un spriegumam. Aprēėinot vatmetra iedaĜas vērtību, šos mērapjomus sareizina un izdala ar
vatmetra skalas iedaĜu skaitu.
Vatmetrs uzrāda sprieguma un strāvas momentāno vērtību reizinājuma (t. i., momentānās jaudas p =
ui) vidējo vērtību. Atcerēsimies, ka tā definē arī aktīvo jaudu P. To tad arī uzrādīs pareizi ieslēgts
vatmetrs. Lai izmērītu kāda divpola patērēto vai ăenerēto aktīvo jaudu, abas vatmetra ėēdes jāpieslēdz
šī divpola strāvai un spriegumam, pie tam, ievērojot pareizu polaritāti.
a) b)
3.21. att.
a) vatmetra spoĜu polaritāte,
b) patērētāja aktīvās jaudas mērīšana.
Sprieguma un strāvas polaritāti, strādājot ar vatmetru, ievēro šādi. Vienu no sprieguma vai strāvas
spoles izvadiem ("sākumu") shēmā apzīmē ar punktu (uz vatmetra korpusa tas apzīmēts zvaigznīti pie
attiecīgās spailes): piemēram, 3.21.,a att. spoĜu sākumi ir attiecīgi spailes 1 un 3. Tad pieĦemtie
pozitīvie sprieguma un strāvas virzieni vatmetrā skaitāmi no spailes, kas apzīmēta ar punktu.
Atcerēsimies, ka par patērētāju uzskata tādu divpolu, kura sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie
virzieni sakrīt. Tātad, lai izmērītu divpola patērēto aktīvo jaudu, vatmetra spoĜu polaritāte jāizvēlās tā,
kā parādīts 3.21.,b att.
Un otrādi, ja divpola sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni shēmā nesakrīt, tad divpolu
uzskata par ăeneratoru. Lai izmērītu tā ăenerēto aktīvo jaudu, vienai no vatmetra ėēdēm (ne abām!)
jāmaina polaritāte, salīdzinot ar 3.21.,b att. parādīto.
Induktīvas spoles parametru noteikšana
Reālai induktīvai spolei atšėirībā no idealizēta induktīva elementa ar parametru L, ir vēl otrs
parametrs - aktīvā pretestība R. To varētu konstatēt eksperimentāli: izmērot maiĦsprieguma avotam
pieslēgtas spoles patērēto aktīvo jaudu P, izrādītos, ka tā nav vienāda ar 0.
Induktīvas spoles apzīmējums parādīts 3.22.,a att. Aizvietošanas shēmās spoli parasti aizstāj ar
idealizētu elementu R un L virknes slēgumu (3.22.,b att.), kura pretestību trīsstūris redzams 3.22.,c att.
Trīsstūra malas attēlo spoles pretestības: aktīvo pretestību R, induktīvo pretestību XL un pilno
pretestību Z.
a)
b)
c)
R
XL
Z
φ
3.22.att. 3.23.att.
Spoles parametrus var noteikt eksperimentāli, kā parādīts 3.23. att. Ėēdē ieslēdz mēraparātus:
ampērmetru, voltmetru un vatmetru strāvas I, sprieguma U un aktīvās jaudas P mērīšanai. Shēmu
pieslēdz maiĦsprieguma avotam. Izmantojot mērījumu rezultātus, iespējams atrast divus lielumus
pretestību trīsstūrī, piemēram, pilno pretestību un fāžu nobīdes leĦėi ϕ:
Kad divi lielumi zināmi, spoles pretestību trīsstūris ir pilnīgi noteikts, un citu parametru
aprēėināšanai pietiek ar trigonometrijas formulām, piemēram:
Ja jāaprēėina spoles induktivitātes L vērtība, izmanto induktīvās pretestības izteiksmi (3.3a):
Spriegumu rezonanse
Kā zināms, līdzsprieguma avotam pieslēgta ėēde ar virknē slēgtiem rezistīviem elementiem ir
sprieguma dalītājs. Stacionārā režīmā neviens no spriegumiem šādā ėēdē nevar pārsniegt avota
sprieguma vērtību.
Pavisam citādi tas ir maiĦstrāvas ėēdē, ja tajā sastopami virknē slēgti abu tipu reaktīvie elementi -
induktīvie un kapacitīvie. Izrādās, ka šādās ėēdēs iespējami režīmi, kad spriegums kādā ėēdes daĜā
pārsniedz (reizēm pat ievērojami) avota spriegumu.
Izpētīsim šo parādību maiĦstrāvas ėēdē, induktivitātes spolei, kuras parametri R un XL zināmi,
virknē pieslēdzot kondensatoru bateriju ar maināmu kapacitāti C. (3.24. att.).
Noskaidrosim, kā kapacitātes C izmaiĦa iespaido strāvas I vērtību, spriegumus uz aizvietošanas
shēmas elementiem un ėēdes jaudas koeficientu cos ϕ.
Kondensatora kapacitīvā pretestība XC ir apgriezti proporcionāla kapacitātei (3.4a):
Ja kapacitāti C pakāpeniski palielina no nulles vērtības, tad kapacitīvā pretestība XC, kas sākumā ir
bezgalīgi liela, pakāpeniski samazinās. Kapacitīvās pretestības izmaiĦa iespaido strāvu ėēdē un jaudas
koeficientu:
Atbildes uz izvirzītajiem jautājumiem var atrast, analizējot šīs formulas. Cita iespēja - aplūkot
izmaiĦas shēmas pretestību trīsstūrī (3.25.att).
a)
1
2
3
φ
Zsp
Z
R
XL
XC
b)
3.24.att. 3.25.att. Pretestību trīsstūris: a) pirms, b) pēc rezonanses
Pie mazām C vērtībām, kad kapacitīvā pretestība ir liela (XC > XL) - ėēdes raksturs pagaidām ir
kapacitīvs (ϕ < 0). Kas notiek ar pretestību trīsstūri (3.25.,a att.), ja kapacitāti C palielinot, kapacitīvā
pretestība XC samazinās? NogriežĦa XC galapunkts nokĜūst punktā 1, pēc tam punktā 2, utt. Redzam:
kapacitātei C pieaugot, ϕ absolūtā vērtība samazinās, jaudas koeficients cos ϕ pieaug, bet pilnā
pretestība Z samazinās. Tas nozīmē: kapacitāti palielinot, strāva ėēdē I = U/Z pieaug.
Kādai jābūt XC vērtībai, lai pilnā pretestība Z kĜūtu minimāla, un tātad strāvas I vērtība -
maksimāla? Atbilde: tādai, lai nogriežĦa XC galapunkts atrastos punktā 3, t.i., izpildoties nosacījumam
Šo situāciju sauc par spriegumu rezonanses režīmu - sakarā ar to, ka tajā arī spriegumi uz ėēdes
reaktīvajiem elementiem ir vienādi:
Spriegumu rezonanses režīmu raksturo arī šādas pazīmes: pilnās pretestības Z minimālā vērtība un
strāvas I maksimālā vērtība ir
bet jaudas koeficienta vērtība ir maksimāli iespējamā:
Ne visas šīs pazīmes ir izmantojamas rezonanses režīma atrašanai: eksperimentā nav pieejamas
reaktīvo pretestību vērtības, nav iespējams pat salīdzināt spriegumus UC.un UL - jo pēdējais ir
spriegums uz idealizēta aizvietošanas shēmas elementa, bet nevis uz spoles (R, L), un to nevar izmērīt.
Tāpēc praktiski rezonanses režīmu var atrast, novērojot ėēdē ieslēgta ampērmetra rādījumus:
spriegumu rezonanses režīmā strāvai ir vislielākā vērtība.
Ja pēc spriegumu rezonanses režīma turpina palielināt kapacitāti C, kapacitīvā pretestība ( punkti 4
un 5 - 3.25.,b att.) kĜūst mazāka par induktīvo pretestību (XC < XL). Tagad ėēdes raksturs ir induktīvs
(ϕ > 0), pretestību trīsstūrī hipotenūza Z palielinās, strāvas vērtība I = U/Z no jauna samazinās. Fāžu
nobīdes leĦėis ϕ palielinās, bet jaudas koeficients cos ϕ samazinās.
a)
I
C Crez
b)
3.26.att. a) strāvas grafiks, b) spriegumu atkarība no kapacitātes
Strāvas izmaiĦa atkarībā no kapacitātes I = f(C) kādam RLC virknes slēgumam parādīta 3.26.,a att.
Ja C=0, tad kapacitīvā pretestība XC ir bezgalīgi liela un strāva I = 0. Strāvas līkne maksimumu
sasniedz rezonanses režīmā. Pēc rezonanses strāva I samazinās, asimptotiski tiecoties uz vērtību, ko
nosaka spriegums U un spoles parametri R un XL:
Spriegumu UC un UL grafiki parādīti 3.26.,b att. Ja C=0, tad ėēdē strāvas nav, un arī spriegumi uz
elementiem R un L ir vienādi ar nulli:
tāpēc viss spriegums U ir pielikts kondensatoram C (UC=U). Spriegums UL mainās, sākot no nulles,
līdzīgi strāvas grafikam (tāpat mainās arī spriegums UR ). Rezonanses režīmā UC = UL.
Spriegumu rezonanse enerăētikā visbiežāk ir nevēlama parādība, jo maiĦstrāvas ėēdē režīmos, kas
ir tuvu rezonansei, uz atsevišėiem ėēdes elementiem var parādīties spriegumi, kas var ievērojami
pārsniegt tīkla spriegumu. Tas redzams arī 3.26.,b grafikā – ar horizontālu punktlīniju parādīts tīkla
spriegums U, bet rezonanses režīma tuvumā, piemēram, spriegums uz kondensatora ievērojami
pārsniesz tā vērtību.
No sprieguma izteiksmes rezonanses režīmam
redzams, ka sevišėi bīstams ir gadījums, ja R<<XL - tad jārēėinās ar to, ka rezonansei tuvos režīmos
spriegumi ėēdē var daudzkārt pārsniegt tīkla sprieguma vērtību.
a)
U
UL
UC
UR
φ
I
b) c)
UL
UC
U
φ
UR I
3.27.att. Vektoru diagrammas: a) pirms rezonanses, b) rezonases režīmā, c) pēc rezonanses.
Jaudas maiĦstrāvas ėēdē
Līdz šim aplūkojām tikai aktīvās jaudas jēdzienu. Divpola vai ėēdes elementa aktīvā jauda P ir
momentānās jaudas p vidējā vērtība. MaiĦstrāvas ėēdē aktīvo jaudu apraksta formula (3.7):
.
Aktīvās jaudas avoti var būt tikai EDS. Aktīvo jaudu patērē tikai rezistīvie elementi (R), to var
patērēt arī atsevišėi EDS. Reaktīvie elementi (L un C) aktīvo jaudu nepatērē. Koeficientu cos ϕ
aktīvās jaudas formulā sauc par jaudas koeficientu. Aktīvās jaudas mērvienība ir vats (W).
Reaktīvā jauda Q raksturo enerăijas svārstību intensitāti ėēdē. Enerăijas svārstības notiek reaktīvo
elementu (L un C) klātbūtnes dēĜ, un tajās var piedalīties arī avots. Izteiksme reaktīvās jaudas
aprēėināšanai (3.7a) ir šāda:
.
Reaktīvās jaudas mērvienība ir reaktīvais voltampērs (var). Tā apzīmējums: var.
Divpola pilnā vai šėietamā jauda S ir vienāda ar sprieguma un strāvas reizinājumu (3.7b):
.
Šim lielumam, atšėirībā no P un Q, nav fizikālas jēgas. Tomēr pilnās jaudas S vērtība ir dažu
elektroiekārtu (piemēram, transformatoru) raksturojošs lielums.
a) b)
3.14. att. a) pretestību trīsstūris, b) jaudu trīsstūris.
Jaudas formulu iegaumēšanai izmanto jaudu trīsstūri. Jaudu trīsstūri var iegūt, piemēram, no virknes
slēguma vektoru diagrammas (3.11.,b). Spriegums U ar komponentēm veido spriegumu trīsstūri. Jaudu
trīsstūri un jaudu formulas iegūst, pareizinot spriegumu trīsstūra malas ar strāvas I vērtību.
Jaudu formulas (3.7) atĜauj aprēėināt jebkura divpola jaudas. Izmantojot elementu vienādojumus (3.2),
(3.3) un (3.4), formulas var piemērot atsevišėiem elementiem.
Rezistīvam elementam R , zinot, ka cos φ=1:
Induktīvam elementam L, zinot, ka sin φ =1:
Kapacitīvam elementam C, zinot, ka sin φ =−1:
Izmantojot divpola vienādojumu(3.8), var iegūt arī jaudas formulas virknes slēgumam:
Pēdējās 3 formulas var lietot, piemēram, aprēėinot strāvas atsevišėos shēmas zaros, ja zināma kāda
no jaudām un zara pretestības. Formulu P=RI2 bieži lieto, lai noteiktu rezistora pretestību R, ja dota tā
patērētā jauda un strāva tajā.
Jaudas koeficienta uzlabošana
MaiĦstrāvas ėēdes ne tikai patērē aktīvo jaudu P, bet tajā notiek arī enerăijas svārstības, kurās
piedalās ėēdes induktīvie un kapacitīvie elementi. Svārstību intensitāti apraksta ar reaktīvo jaudu Q.
Rūpniecībā un transportā lietojamās iekārtās plašāk izplatīti ir aktīvi induktīva rakstura patērētāji, jo
spoles (piemēram, elektrisko mašīnu un transformatoru tinumi) sastopamas daudz biežāk nekā
kondensatori.
SaskaĦā ar aktīvās jaudas formulu (3.7) strāva I, kas nepieciešama, lai pievadītu patērētājam jaudu
P pie zināmas sprieguma U vērtības, ir atkarīga no jaudas koeficienta vērtības:
Aktīvi induktīvu patērētāju jaudas koeficients cos ϕ ir mazāks par 1. Tātad doto jaudu P
patērētājiem varētu pievadīt ar mazāku strāvas patēriĦu, ja izdotos paaugstināt cos ϕ vērtību.
Viens no izplatītākajiem paĦēmieniem jaudas koeficienta uzlabošanai ir šāds: aktīvi induktīvu
patērētāju grupai paralēli pieslēdz kondensatoru bateriju ar regulējamu kapacitāti C, kā tas redzams
3.28.att. aizvietošanas shēmā.
a) b)
3.28 att 3.29. att.
Aplūkosim vispirms shēmas darbību gadījumā, ja kondensatori nav pieslēgti (C = 0). Tad I2 = 0, un
pirmajā zarā plūst visa avota strāva (I1 = I).
Pirmā zara pretestību trīsstūris redzams 3.29.,a att. Tas rāda, ka strāva I1 atpaliek fāzē no sprieguma
U par leĦėi ϕ1. Attēlojam to vektoru diagrammā (3.29.,b), kurā parādītam arī pirmā zara strāvas vektora
komponentes - aktīvā un reaktīvā. Šeit jāuzmanās, lai neizveidotos kĜūdains priekšstats: īstenībā strāvu
komponentes ir tikai aprēėina lielumi, nevis strāvas elementos elementos R un L (tajos īstenībā plūst
viena un tā pati strāva I1).
Palielinot kapacitāti C, pieaug strāva I2, kas tieši proporcionāla C vērtībai:
Vai pirmā zara strāvas vērtība I1 izmainīsies? Protams, neizmainīsies, jo to joprojām nosaka tas pats
spriegums U un tā pati pirmā zara pretestība Z1. Neizmainās arī šīs strāvas fāžu nobīde attiecībā pret
spriegumu: to joprojām nosaka tas pats pretestību trīsstūris. Neizmainās arī jauda P, jo vienīgais tās
patērētājs ir rezistīvais elements R.
IzmaiĦas vektoru diagrammā, ko izraisa kapacitātes C palielināšana, redzamas 3.30. att.: 1) tajā
parādās jauns vektors I2, kas apsteidz fāzē spriegumu par 90o, 2) strāva I vairs nav vienāda ar I1, bet
saskaĦā ar strāvu vienādojumu shēmai:
tā ir atkarīga no I2 vērtības, 3) fāžu nobīde vairs nav ϕ1, bet to nosaka jaunais strāvas I vektora virziens.
Kamēr C vērtības ir mazas (3.30,a att. - strāvas I2 vektora galapunkts atrodas punktos 1 vai 2),
ėēdes raksturs vēl ir induktīvs, (ϕ > 0). Pievērsiet uzmanību tam, kā strāvai I2 palielinoties, kopējās
strāvas vektora garums nevis pieaug, bet samazinās! Samazinās arī fāžu nobīdes leĦėis ϕ, tātad cos ϕ
pieaug.
Režīmu, kurā strāva I ir vismazākā, sauc par strāvu rezonanses režīmu. No 3.30.,a att. vektoru
diagrammas redzams, ka tas iestāsies tad, kad strāvas I2 vektora galapunkts būs punktā 3.
Kādai jābūt strāvas I2 vērtībai, lai iegūtu šo režīmu?
Atbilde: vienādai ar pirmā zara strāvas reaktīvo komponenti (sk. 3.30.,b att). Tātad rezonanses
iegūšanai aktīvi induktīva patērētāja reaktīvo komponenti (ar induktīvu raksturu) kompensē ar tikpat
lielu kapacitīva rakstura strāvu otrā zarā.
Lūk, rezonanses noteikums 3.28. att. shēmai:
a) b) c)
3.30. att. Vektoru diagrammas: a) pirms rezonanses, b) rezonanses režīms, c) pēc rezonanses.
Strāvu rezonanses režīma pazīmes redzamas vektoru diagrammā 3.30.,b att.: 1) strāvas I vērtība ir
minimāla un vienāda ar pirmā zara strāvas aktīvo komponenti, 2) strāvas un sprieguma sinusoīdas
sakrīt fāzē, tātad jaudas koeficientam ir maksimālā vērtība:
Turpinot palielināt kapacitāti C pēc rezonanses režīma, izmaiĦas redzamas 3.30.,c att.: ėēdes
raksturs kĜūst kapacitīvs (ϕ < 0). Strāvai I2 palielinoties (punkti 4 un 5), kopējās strāvas I vektora
garums tagad pieaugs, bet fāžu nobīdes leĦėis ϕ pēc absolūtās vērtības pieaug, tātad jaudas koeficients
cos ϕ samazinās.
Mainot C vērtību, kopējās strāvas aktīvā komponente Ia paliek nemainīga un vienāda ar pirmā zara
strāvas aktīvo komponenti I1a. Arī sekojošā izteiksme apstiprina, ka pie jebkuras C vērtības shēma
patērē vienu un to pašu aktīvo jaudu P:
Tas arī saprotams, jo shēmā vienīgais aktīvās jaudas patērētājs ir elements R - reaktīvie elementi L
un C aktīvo jaudu nepatērē.
a)
I
C Crez
I1r
I2
I
I1a
Ir
b)
3.31. att. Strāvu un jaudas koeficienta atkarība no pieslēgtās kapacitātes vērtības.
Strāvu grafiki atkarībā no kapacitātes C parādīti 3.31.,a att. Redzams, ka strāva I2 pieaug lineāri, no
avota patērētās strāvas I aktīvā komponente nemainās, bet tās reaktīvā komponente (grafikā parādīta tās
absolūtā vērtība, ignorējot ± zīmes) rezonanses režīmā ir vienāda ar nulli - tāpēc rezonanses režīmā
ėēdes patērētā strāva I ir vismazākā.
Jaudas koeficienta grafiks redzams 3.33.,b att. Pareizi izvēloties kapacitātes C vērtību, iespējams
iegūt režīmus, kas tuvi strāvu rezonanses režīmam. Jaudas koeficients tad tuvs maksimālai vērtībai
cos ϕ =1.
Vektoru diagrammas shēmām ar paralēliem zariem
Vektoru diagrammu zīmēšana shēmām, kur avotam pieslēgti vairāki paralēli zari, vienkāršojas, ja
elementu virknes slēgumus shēmas zaros uzskatām par divpoliem. Tad (neatkarīgi no paralēlo zaru
skaita) shēmā ir vairs tikai 2 punkti - tātad viens (avota) spriegums! Shēmā ir visu zaru strāvas, kā arī
strāva, kas plūst no sprieguma avota.. Katra zara pilno pretestību Z un fāžu nobīdi ϕ var noteikt,
izmantojot šī zara pretestību trīsstūri (3.8a). Ja zarā ir tikai viens elements – izmanto elementu
vienādojumus (3.2), (3.3) vai (3.4).
Vektoru diagrammu zīmē saskaĦā ar nedaudz izmainītu pazīstamo plānu:
• apzīmē shēmā spriegumu U un visu zaru strāvas (tā, lai to pozitīvie virzieni sakristu ar
sprieguma pieĦemto virzienu),
• brīvi izvēlētā virzienā atliek sprieguma vektoru, jo šis spriegums ir pielikts visiem zariem,
• attiecībā pret sprieguma U vektoru atliek visas zaru strāvas: zaram ar vienu elementu strāvas
vektora virzienu nosaka šī elementa vektoru diagramma (3.10. att.), bet zaram ar virknes
slēgumu fāžu nobīdi ϕ var uzzināt no pretestību trīsstūra,
• saskaĦā ar strāvu vienādojumu avota strāvas I vektoru atrod, summējot visu zaru strāvu
vektorus,.
• diagrammā parāda fāžu nobīdi starp avota strāvas un sprieguma sinusoīdām: leĦėi ϕ atliek no
strāvas vektora.
3.5. piemērs.
Uzzīmēsim vektoru diagrammu, uzskatot virknes slēgumu pirmajā zarā par divpolu.
a) b)
R1
XL
Z1
φ1
c)
3.13. att. a) shēma ar paralēliem zariem, b) 1. zara pretestību trīsstūris, c) vektoru diagramma.
1. Apzīmējam spriegumu un visas strāvas shēmā (3.13.,a att.).
2. Vektoru diagrammā (3.13.,c att.) vispirms zīmējam sprieguma U vektoru.
3. Lai novērtētu strāvas I1 vektora virzienu, uzzīmējam šī zara pretestību trīsstūri (3.13.,b att.). Zarā ir induktīvā
pretestība, tāpēc leĦėis ϕ1 ir pozitīvs. Atcerēsimies, ka trīsstūrī leĦėi ϕ atliek no horizontāles. bet vektoru
diagrammā - no strāvas vektora līdz sprieguma vektoram. Diagrammā parādītais strāvas I1 vektors atpaliek no
sprieguma par leĦėi ϕ1.
Otrā zara strāvas I2 vektora virzienu nosaka elementa R vektoru diagramma (3.10. att): tas sakrīt fāzē ar
spriegumu U.
4. Kopējās strāvas I vektoru atrodam, uzrakstot strāvu vienādojumu: Ī = Ī1 + Ī2 un saskaĦā ar to saskaitot attiecīgos
vektorus.
5. Parādām fāžu nobīdes leĦėi ϕ, atliekot to no avota strāvas I vektora.
Ja zaru strāvu vērtības un fāžu nobīdes abos zaros ir atrastas - tam vektoru diagramma vēl nav vajadzīga -, tad
vektoru diagramma atĜauj izveidot formulas kopējās strāvas un leĦėa φ atrašanai. Metode, kā to izdarīt, aplūkota
zemāk.
Aktīvās un reaktīvās komponentes
Kā jau minēts, izmantojot “tabulas” vienādojumu (3.6) var sastādīt dotajai shēmai vienādojumu, kas
satur strāvu vektorus. To vienādojumu izmanto tikai vektoru diagrammas zīmēšanai. Vektoru
diagramma savukārt dod iespēju sastādīt aprēėinos izmantojamus vienādojumus ar strāvu efektīvajām
vērtībām.
Bieži lieto šādu paĦēmienu: katru no saskaitāmo strāvu vektoriem sadala divās savstarpēji
perpendikulārās komponentēs. Ja jāsaskaita vairāku zaru strāvas, kuriem pielikts viens un tas pats
spriegums (tā tas ir shēmās ar paralēliem zariem), tad strāvas komponentes pieĦemts saukt par aktīvo
komponenti Ia un reaktīvo komponenti Ir. Strāvas vektora aktīvā komponente ir strāvas vektora
projekcija uz sprieguma vektora virziena. Atcerēsimies, ka projekcijai atbilst reizināšana ar leĦėa
kosinusu: Ia = I cos ϕ. Reaktīvā komponente ir perpendikulāra sprieguma vektora virzienam, un tās
izteiksme satur sinusu: Ir = I sin ϕ.
Tā kā visi fāžu nobīdes leĦėi atrodas diapazonā no −90° līdz 90° (cos ϕ tad ir pozitīvs) , tad visas saskaitāmo
vektoru aktīvās komponentes būs pozitīvas.
Lai atrastu vektoru summas reaktīvo komponenti, atsevišėo strāvu reaktīvās komponentes arī jāsaskaita, taču
šeit saskaitāmo zīmes var būt dažādas. Induktīva rakstura (ϕ >0, sin ϕ >0) reaktīvās komponentes būs pozitīvas,
bet tās, kuru raksturs ir kapacitīvs (ϕ <0, sin ϕ <0) - negatīvas.
Lai šeit izvairītos no kĜūdām, ieteicams rezultātu pareizību pārbaudīt, ielūkojoties arī vektoru diagrammā: ja
sprieguma vektors vērsts pa labi, tad induktīva rakstura reaktīvā strāvas komponente būs vērsta uz leju (atpaliek no
sprieguma, ir pozitīva), bet, ja raksturs ir kapacitīvs - vērsta uz augšu (apsteidz fāzē spriegumu, ir negatīva).
Tā atrod strāvu vektoru summas Ī abas komponentes Ia un Ir. Strāvas vektoru komponentes kopā ar
vektoru Ī veido taisnleĦėa trijstūri, no kura tad arī iegūst formulas, kuru dēĜ tika zīmēta vektoru
diagramma, piemēram:
Dažos gadījumos nevis strāvas, bet spriegumus sadala komponentēs (piemēram, 3.17. att.) Tad
sprieguma aktīvā komponente Ua būtu sprieguma vektora projekcija uz strāvas vektora virziena.
Sprieguma otra -reaktīvā - komponente Ur perpendikulāra aktīvajai komponentei..
MaiĦstrāvas ėēžu aprēėināšana ar vektoru diagrammu metodi
(piemēri)
Zemāk apskatīti divi tipiski piemēri aprēėinam ar vektoru diagrammu metodi: shēma ar virknes
slēgumu un shēma ar paralēliem zariem. Turpmāk ievērojiet šādu principu: shēmai vai tās fragmentam
aprēėina formulas var iegūt: virknes slēgumam - no pretestību trīsstūra, bet shēmai ar paralēliem
zariem - no uzzīmētas vektoru diagrammas.
3.8. piemērs.
Dota maiĦstrāvas ėēde ar virknes slēgumu (3.18.,a att.). Avota sprieguma efektīvā vērtība: U = 200 V. Ėēdes
elementu parametri: R1 = 10 , R2 = 20 , R3 = 30 , XC = 40 , XL = 120 . Aprēėināt strāvu ėēdē, spriegumu
starp punktiem a un b, kā arī patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu.
a)
b) c)
3.18.att. a) shēma ar virknes slēgumu, b) pretestību trīsstūris, c) pretestību trīsstūris shēmas fragmentam.
• Risinājuma plāns.
Dotajai shēmai uzzīmē pretestību trīsstūri. No tā atrod pilno pretestību Z un arī ϕ vērtību. Tas atĜauj aprēėināt
strāvu I un jaudas P un Q. Sprieguma Uab atrašanai arī zīmē pretestību trīsstūri divpolam ab un atrod tā pilno
pretestību Zab.
• Atrisinājums.
Zīmējam pretestību trīsstūri (3.18.,b att.), no kura atrodam ėēdes pilno pretestību un fāžu nobīdes leĦėi ϕ.
Atcerēsimies, ka leĦėi pretestību trīsstūrī atliek no horizontāles (R). Šeit leĦėa vērtība ir pozitīva (citiem vārdiem,
ėēdei ir induktīvs raksturs), jo induktīvā pretestība ir lielāka par kapacitīvo pretestību.
Tas nozīmē, ka ėēdei fāžu nobīdes leĦėis ϕ = 53°.
Izmantojot Oma likumu maiĦstrāvas ėēdes virknes slēgumam (3.8), atrodam strāvas vērtību:
A
Z
U
I 2,2
100
220 .
Izmantojot divpola jaudas formulas, atrodam patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu:
Pārliecināsimies, ka šos rezultātus iespējams iegūt arī citādi:
Lai aprēėinātu spriegumu Uab, zīmējam pretestību trīsstūri posmam ab (3.18.,c att.), no kura atrodam šī divpola
pilno pretestību:
2 2 302 1202 123,7
ab 2 L Z R X .
.
Spriegumu Uab, atrod, pielietojot Oma likumu (3.8) posmam ab:
.
Ievērojiet, ka šādas shēmas - virknes slēguma - aprēėinā varēja iztikt bez vektoru diagrammas: formulas
iespējams iegūt no pretestību trīsstūriem.
3.9. piemērs.
MaiĦsprieguma avotam ar spriegumu U = 100 V pieslēgta ėēde ar 3 paralēliem zariem (3.22.,a att.). Dotie
lielumi: U = 100 V, R11 = 10 , R12 = 20 , XC1 = 40 , R2 = 80 , XL2 = 100 , XC2 = 40 , XC3 = 100 .
Aprēėināt visas strāvas, patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu, un spriegumu starp punktiem a un b.
a)
U
I1 I2 I3
I
R11
R12
a
d
b
f
C1
C2
L2
R2
C3
b) c)
XC2
XL2
Z2
φ2
R2
3.19.att. a) shēma ar paralēliem zariem, b) pirmā zara pretestību trīsstūris,
c) otrā zara pretestību trīsstūris.
• Risinājuma plāns.
Šāda tipa shēmu - ar paralēliem zariem - aprēėina secība ir sekojoša.
1. Vispirms katram zaram atrod strāvas efektīvo vērtību (I1, I2, …) un fāžu nobīdes leĦėi (ϕ1, ϕ2, …). Ja zarā
ir tikai viens elements, tad strāvu un fāžu nobīdi var noteikt saskaĦā ar attiecīgā elementa vienādojumu
(3.2), (3.3) vai (3.4). Ja zarā ir vairāki elementi, tad zara pilno pretestību Z un fāžu nobīdi ϕ noteic šī zara
pretestību trīsstūris: (3.8a). Zara strāvas vērtību atrod, izdalot spriegumu ar zara pilno pretestību Z.
2. Lai atrastu kopējās strāvas (tā nav abstrakta strāvu summa, bet shēmā tā plūst no avota) I vērtību, zīmē
vektoru diagrammu. Zinot fāžu nobīdi ϕ katrā zarā, diagrammā zīmē sprieguma U vektoru un, zinot fāžu
nobīdi ϕ katrā zarā, zīmē visu zaru strāvu vektorus. Kopējās strāvas vektoru atrod, summējot zaru strāvu
vektorus saskaĦā ar vienādojumu (3.6):
3. Vektoru diagramma nepieciešama, lai izveidotu algebriskas formulas kopējās strāvas un fāžu nobīdes
noteikšanai. Šim nolūkam katru strāvu sadala divās savstarpēji perpendikulārās komponentēs. Aktīvā
komponente ir strāvas vektora projekcija uz sprieguma vektora virziena. Strāvas I aktīvā komponente ir
vienāda ar zaru strāvu aktīvo komponenšu aritmētisko summu:
Kopējās strāvas reaktīvo komponenti atrod, summējot zaru strāvu reaktīvās komponentes.
JāĦem vērā, ka atsevišėu zaru strāvu reaktīvajām komponentēm var būt dažādas zīmes (±): ja induktīvā
pretestība zarā ir lielāka par kapacitīvo, tad fāžu nobīdes leĦėis ϕ ir pozitīvs, zaram ir induktīvs raksturs,
utt.
4. Kopējā strāva I un tās abas komponentes - aktīvā un reaktīvā - veido strāvu trīsstūri. Tas ir taisnleĦėa
trīsstūris, un no tā viegli iegūt formulas ne tikai kopējās strāvas, bet arī fāžu nobīdes vai jaudas koeficienta
noteikšanai:
Starp citu, aktīvās jaudas P aprēėinam var izmantot arī strāvas aktīvo komponenti:
.
♦ Atrisinājums.
1. Pretestību trīsstūri 1. un 2. zaram parādīti 3.22.,b, c att. No tiem atrodam zaru pilnās pretestības:
,
Nosakām arī fāžu nobīdes leĦėus un to sinusu un kosinusu vērtības, kas būs vajadzīgas, aprēėinot strāvu
reaktīvās un aktīvās komponentes. 1. un 2. zarā ir virknes slēgumi, tāpēc formulas iegūst no pretestību
trīsstūriem:
.
No pretestību trīsstūriem redzams, ka šeit ϕ1<0, bet ϕ2>0. Ievērojam šīs zīmes, nosakot fāzes nobīdes
leĦėus: ϕ1=−53°, ϕ2=37°. Trešajā zarā ir viens elements. No formulu tabulas vienādojuma (3.4): ϕ3=−90°.
Tagad iespējams noteikt 1. un 2. zara strāvas efektīvās vērtības:
, .
3. zara atrod, izmantojot kapacitīvā elementa vienādojumu (3.4):
.
2. Zīmējam vektoru diagrammu.
Sprieguma U vektoru atliek brīvi izvēlētā virzienā. Strāvu vektoru virzienus nosaka fāžu nobīde (ϕ1,
ϕ2, ϕ3) katram zaram.
Strāvu vektoru garumu diagrammā parāda aptuveni. Taču no vektoru diagrammas iegūtās formulas būs
pareizas tikai tad, ja vektoru virzienos nebūs rupju kĜūdu. Piemēram, ja spriegums U atlikts pa labi, tad
katra zara strāvas vektors jāatliek vienā no 5 šādiem virzieniem: uz augšu (ja zara pretestībai ir tīri
kapacitīvs raksturs: ϕ = −90o), uz leju (tīri induktīvs raksturs), sprieguma virzienā (ja ϕ = 0), slīpi pa labi
uz augšu (kapacitīvs raksturs: −90o < ϕ < 0o) vai slīpi pa labi uz leju (induktīvs raksturs: 90o > ϕ > 0o). Ja
vektoru diagrammu lieto tikai formulu izveidošanai, kas arī ir tās galvenais uzdevums, tad lielāka
precizitāte nav nepieciešama.
Vektoru diagrammu (3.20.,a att) sākam zīmēt ar sprieguma U vektoru.
1. zarā fāžu nobīdes leĦėis ir negatīvs (citiem vārdiem, zaram ir kapacitīvs raksturs - strāva apsteidz
fāzē spriegumu par 53o). Tāpēc strāvu I1 atliek slīpi uz augšu - tad leĦėis ϕ1 (atcerēsimies, ka vektoru
diagrammā leĦėi atliek no strāvas vektora) tiešām būs negatīvs.
Otrā zara raksturs ir induktīvs - tāpēc strāvu I2 atliek slīpi uz leju.
Trešā zara strāva kapacitīvajā elementā apsteidz fāzē spriegumu U par 90o, tāpēc to atliek uz augšu.
Kopējo strāvu I atrod, vektorus summējot saskaĦā ar pirmo Kirhofa likumu dotajai shēmai:
I = I1 + I 2 + I 3 .
Summēšanas rezultāts redzams 3.20.,c att. diagrammā.
3. Nosakām zaru strāvu aktīvās komponentes:
I1a = I1 cos ϕ1 = 2 ⋅ 0,6 =1,2 A , I2a = I2 cos ϕ2 =1 ⋅ 0,8 = 0,8 A, I3a = 0 .
Nosakām zaru strāvu reaktīvās komponentes:
I1r = I1 sin ϕ1 = 2 ⋅ (−0,8) = −1,6 A , I2r = I2 sin ϕ2 =1 ⋅ (0,6) = 0,6 A ,
I3r = I3 sin ϕ3 =1 ⋅ (−1) = −1 A .
Zaru strāvu komponentes parādītas ar raustītām līnijām 3.20.,b att., bet kopējās strāvas komponentes -
tāpat 3.20.,c attēlā.
Kopējās strāvas I aktīvā komponente:
Ia = I1a + I2a + I3a =1,2 + 0,8 + 0 = 2 A.
Kopējās strāvas I reaktīvā komponente:
Ir = I1r + I2r + I3r = −1,6 + 0,6 −1 = −2 A.
a)
I3
I1
I2
U
φ1
φ2
b)
I1a
I1
I
I2
φ2
I1r
I2a
I2r
I3=I3r
U
φ
c)
I1
I
I2
Ir
Ia
I3
U
φ
3.20. att. Vektoru diagramma: a) sprieguma un zaru strāvu vektori, b) parādītas zaru strāvu
komponentes,c) vektoru diagrammā parādītas kopējās strāvas komponentes.
Ievērosim, ka šeit negatīva reaktīvās komponentes zīme atbilst negatīvam fāžu nobīdes leĦėim - tātad
kopējā strāva apsteidz spriegumu (citiem vārdiem, ėēdei ir kapacitīvs raksturs).
4. Zinot kopējās strāvas komponentes, varam atrast kopējās strāvas vērtību un jaudas koeficientu:
I = I a + I r = + = A
2 2 22 22 2,83 , cos
,
ϕ = = = ,
I
I
a 2
2 82
0 707 .
Atrodam arī fāžu nobīdes leĦėi ϕ visai shēmai. Tā kā apgrieztās trigonometriskās funkcijas dod tikai
galveno leĦėa vērtību 1. kvadrantā, tad papildus izmantojam iepriekš teikto par ėēdes kapacitīvo raksturu:
ϕ = arccos(0,707) = −45° .
Šeit gan pareizāk būtu lietot reaktīvo komponenti un sinusu. Tiešām, leĦėa ϕ sinusu atrod, izdalot kopējās
strāvas reaktīvo komponenti (−2) ar strāvu I (2,82), iegūstot sin ϕ = −0,707, kam atbilst fāžu nobīdes leĦėis
ϕ=−45°.
5. Aprēėinām atsevišėu zaru un visas ėēdes aktīvo jaudu:
P1 U I1 1 R11 R12 I1 W
2 100 2 0 6 10 20 22 120 = cosϕ = ( + ) = ⋅ ⋅ , = ( + ) ⋅ = ,
P2 U I 2 2 R2 I1 W
2 100 1 0 8 80 12 80 = cosϕ = = ⋅ ⋅ , = ⋅ = ,
P3 =U I 3 cosϕ 3 = 0 ,
P = U I cosϕ = U I a = 100 ⋅ 2,83⋅ 0,707 = 100 ⋅ 2 = 200W .
Aprēėinām atsevišėu zaru un visas ėēdes reaktīvo jaudu:
Q1 = U I1 sinϕ1 = 100⋅2⋅ (−0,8) = −160 var ,
Q2 = U I 2 sinϕ 2 = 100⋅1⋅0,6 = 60 var ,
Q3 = U I 3 sinϕ 2 = 100⋅1⋅ (−1) = −100 var ,
Q = U I sinϕ = U I r = 100⋅2,83⋅ (−0,707) = 100⋅ (−2) = −200 var .
Reaktīvās jaudas plusa/mīnusa zīmes norāda uz to, ka 1., 3. zars un visa ėēde kopumā patērē kapacitīva
rakstura reaktīvo jaudu, bet 2. zara patērētā reaktīvā jauda ir induktīva.
Topogrāfiskās diagrammas
PieĦemsim, ka ir shēma ar 5 punktiem - tātad shēmā ir 10 dažādi spriegumi. Kā visērtāk uzglabāt
informāciju par tiem? Līdzstrāvas ėēdē visi spriegumi būtu pilnīgi noteikti, uzdodot tikai 4 skaitliskas
vērtības: viena punkta potenciālu pieĦemtu vienādu ar nulli, un uzrādītu pārējo četru punktu
potenciālus. Katru no spriegumiem tad varētu atrast kā divu punktu potenciālu starpību.
Ar ko atšėiras maiĦstrāvas ėēde? Ar to, ka katru spriegumu raksturo ne tikai skaitliskā vērtība, bet
arī sākuma fāze. Ja spriegumu attēlo ar vektoru, tad katram no diviem vektora galiem varētu atbilst
shēmas punkta potenciāls. Šis princips tad arī ir topogrāfisko diagrammu pamatā: katra shēmas punkta
potenciālam atbilst punkts topogrāfiskajā diagrammā. Katram spriegumam - potenciālu starpībai -
atbilst attālums starp topogrāfiskās diagrammas punktiem.
Jēdziens par topogrāfisko diagrammu
Topogrāfiskā diagramma atšėiras no vektoru diagrammas ar to, ka 1) tajā nav strāvu vektoru, 2)
topogrāfiskajā diagrammā ir punkti: katrs no tiem raksturo kāda shēmas punkta potenciālu. Jebkuram
spriegumam shēmā atbilst vektors, kas savieno divus diagrammas punktus (3.16.att.)..
UAB
A
B
3.16. att. Tas nav UBA!
Pastāv vienošanās par sprieguma vektora virzienu topogrāfiskajā
diagrammā: sprieguma vektora bultiĦa vērsta “uz. pirmo indeksu”.
Viegli atcerēties: pretēji tam, kā spriegumu apzīmē shēmā!.
Piemēram, ja shēmās spriegumu UAB apzīmē ar bultiĦu, kas vērsta
no shēmas punkta A punta B virzienā, bet topogrāfiskajā
diagrammā vektora UAB bultiĦa vērsta uz punktu A.
Kā uzzīmēt topogrāfisko diagrammu
Lai uzzīmētu maiĦstrāvas ėēdei topogrāfisko diagrammu:
• Apzīmē shēmā visus tās punktus.
• Zīmē vektoru diagrammu.
• Pārnes spriegumus no vektoru diagrammas uz topogrāfisko diagrammu (saglabājot katra vektora
garumu un virzienu). Pārnesot pirmo vektoru, saskaĦā ar 3.16.att. parādīto principu iegūst
pirmos divus topogrāfiskās diagrammas punktus. Katru nākošo spriegumu izvēlas tā, lai iegūtu
jaunu punktu diagrammā.
3.7. piemērs.
Uzzīmēt topogrāfisko diagrammu 3.17.,a att. parādītajai shēmai. PieĦemsim, ka spriegumu efektīvās
vērtības ir zināmas: UAB = 20 V, UBC = 30 V, UDC = 30 V, UDE = 15 V.
a) b) c)
UCD
UBC
UAB
E
D C
B A
UAD
3.17. att.: a) shēma, b) vektoru diagramma, c) topogrāfiskā diagramma
Shēmā apzīmējam visus punktus (A...E) un strāvu I.
Zīmējam vektoru diagrammu (3.17.,b att.). Brīvi izvēlētā virzienā atliekam strāvas vektoru. Atcerēsimies, ka
elementu vektoru diagrammas (3.8.att.) ir definētas situācijai, kad sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie
virzieni sakrīt. Tāpēc vektoru diagrammā jāparāda spriegumu vektori ŪAB, ŪBC, ŪCD (nevis ŪDC, lai gan tā
efektīvā vērtība dota) un ŪDE. (Starp citu, spriegumu vektoru virzieni ir diametrāli pretēji: ŪCD= –ŪDC, taču
efektīvās vērtības ir vienādas: UCD= UDC.). Vektoru diagrammā vektorus izvieto patvaĜīgi - protams, ievērojot
pareizus vektoru virzienus (skat. 3.8.att.)..
Zīmējot topogrāfisko diagrammu, ieteicams shēmu apiet pretēji strāvas bultiĦas virzienam. Piemēram, dotajā
shēmā vispirms sastopam spriegumu UDE. Pārnesam tā vektoru uz topogrāfisko diagrammu (skat. 3.16.att.)- tajā
iegūstam punktus E un D. Pārnesot nākošo vektoru ŪCD, diagrammā parādās jauns punkts C. Pārnesot uz
topogrāfisko diagrammu spriegumu ŪBC, topogrāfiskajā diagrammā parādās nākošais punkts B, utt.
Topogrāfiskā diagramma ir parocīgs veids, kā glabāt informāciju par visiem spriegumiem shēmā. Tajā var
viegli atrast jebkuru sprieguma vektoru. Piemēram, 3.17.,c att. ar raustītu līniju parādīts spriegums UAD.
Topogrāfiskās diagrammas izdevīgi lietot trīsfāžu ėēžu analīzei. Piemēram, svarīga ir topogrāfiskā diagramma
5. nodaĜas sākumā (skat. 5.2.att).
SIMBOLISKĀ METODE
Atšėirībā no vektoru diagrammu metodes, simbolisko metodi var lietot jebkuras sarežăītības
pakāpes maiĦstrāvas ėēžu aprēėināšanai. Simboliskās metodes pamatā ir visu aprēėinā lietojamo
lielumu - EDS, spriegumu, strāvu, pretestību un jaudu - attēlošana ar kompleksiem lielumiem. Ar to
aprēėina tehnika gan kĜūst sarežăītāka, taču aprēėina metodika ievērojami vienkāršojas - maiĦstrāvas
ėēdes var aprēėināt ar 2. nodaĜā aplūkotajām līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodēm.
Formulu iegūšanai vairs nav jāzīmē vektoru diagrammas - gluži otrādi, risinājuma gaitā iegūtos
rezultātus - kompleksos skaitĜus attēlojot kompleksu plaknē, veidojas vektoru diagramma, kuru
iespējams izmantot rezultātu pareizības kontrolei. Tā kā risinot jebkuru uzdevumu, svarīgi ir pārbaudīt
katru starprezultātu, tad sekmīgai simboliskās metodes lietošanai vēlams pārzināt arī vektoru
diagrammu metodi.
Šajā nodaĜā vispirms atkārtosim no matemātikas kursa pazīstamos jēdzienus par kompleksiem
skaitĜiem un darbībām ar tiem. Pēc tam noskaidrosim, kā ar kompleksiem lielumiem attēlot
sinusoidālus elektriskus lielumus (spriegumus un strāvas), kā arī aktīvo un reaktīvo elementu
pretestības. Iepazīsimies ar elektrisko ėēžu aprēėina pamatformulām kompleksā formā, kas ir līdzīgas
līdzstrāvas ėēžu formulām, kā arī ar to izmantošanu maiĦstrāvas ėēžu analīzei.
Kompleksu plakne un darbības ar kompleksiem skaitĜiem
Kompleksu plaknē ir divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis: horizontāla reālo skaitĜu ass
un vertikāla imagināro skaitĜu ass. Imagināro vienību (matemātikā i = −1 ) elektrotehnikā, tāpat kā
citās tehniskās disciplīnās, pieĦemts apzīmēt ar "j". Kompleksu skaitli var uzskatīt par kompleksu
plaknē novietotota vektora (ar sākumu koordinātu sākumpunktā) analītisku pierakstu. 4.1. attēlā
parādīta kompleksu plakne, kurā attēlots komplekss lielums A. Šī kompleksā lieluma trīs pieraksta
formas (algebriskā, trigonometriskā un eksponenciālā) redzamas sekojošā izteiksmē:
A = a + j b = A (cosα + j sinα ) = A e jα .
algebriskā forma trigonometriskā forma eksponenciālā forma
a)
+
a
b
A
+j
-j
b)
4.1. att. a) komplekss lielums A kompleksu plaknē, b) saistītais komplekss A*
Apzīmējumi šajā izteiksmē un 4.1. att.:
A - komplekss lielums (īsāk: komplekss),
a - kompleksā lieluma reālā daĜa; to pieraksta šādi: Re(A) = a,
b - kompleksā lieluma imaginārā daĜa; to pieraksta šādi: Im(A) = b,
A - kompleksā lieluma modulis,
α - kompleksā lieluma leĦėa arguments,
e - naturālo logaritmu bāze (ne jau nu EDS).
4.1.,b att.zīmējums ilustrē jēdzienu "saistītais komplekss". Saistīto kompleksu A* iegūst, ja
kompleksā skaitĜa A imaginārās daĜas zīmi (vai eksponenciālajā formā - kompleksa leĦėa argumenta
zīmi) maina uz pretējo.
Komplekso skaitĜu algebriskā forma ir visai ērta to saskaitīšanai vai atĦemšanai. Minētās darbības
izpilda atsevišėi ar abu lielumu reālajām daĜām un imaginārajām daĜas, piemēram:
(1 + j 2) − (3 + j 4) = (1 − 3) + j(2 − 4) = −2 − j2 .
Algebrisko formu var lietot arī, izpildot reizināšanu vai dalīšanu, piemēram,
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 2
(1 2)(3 4) 1 3 2 2 4 2 3 1 4 (3 8) (6 4) 5 10 + j + j = ⋅ + j ⋅ + j ⋅ + j ⋅ = − + j + = − + j .
Ja komplekso skaitĜu algebrisko formu izmanto dalīšanai, tad raksturīgs ir šāds paĦēmiens, lai
atbrīvotos no imaginārās daĜas saucējā: izteiksmes saucēju un skaitītāju pareizina ar saucēja saistīto
kompleksu:
1
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 4
0 2 0 4
+
=
−
+ −
=
−
+
= −
j
j
j j
j
j
( )( )
, , .
Komplekso skaitĜu eksponenciālā forma ir ērta to reizināšanai vai dalīšanai:
10 e j30 5 e j45 10 5 e j ( 30 45 ) 50 e j75 o o o o o
⋅ = ⋅ = ( ) + ,
10 e j30 5 e j45 10 5 e j ( 30 45 2 e - j15 o o o o o
: ( : ) ) = = − .
Ievērojiet, ka pareizinot ar ejα , kompleksā skaitĜa arguments pieaug par leĦėi α - tas nozīmē, ka
kompleksam skaitlim atbilstošais vektors tiek pagriezts par leĦėi α pozitīvā virzienā (t. i., pretēji
pulksteĦa rādītāja kustības virzienam). Šo novērojumu ieteicams lietot, lai pārbaudītu reizināšanas vai
dalīšanas rezultāta pareizību. Piemēram, pareizināt ar (−2 + j2) - t.i., ar kompleksu skaitli, kura leĦėa
arguments ir 135o- nozīmē pagriezt kompleksu plaknē novietotu vektoru par 135o pozitīvā virzienā.
Komplekso skaitĜu trigonometrisko formu lieto, lai pārveidotu algebrisko formu eksponenciālajā vai
otrādi. Lai pārietu no eksponenciālās formas uz algebrisko, kompleksā lieluma reālo un imagināro daĜu
atrod, sareizinot moduli A ar leĦėa argumenta α kosinusu vai sinusu:
a = Re (A) = A cos α , b = Im (A) = A sin α .
Lai pārietu no algebriskās formas uz trigonometrisko, formulas moduĜa A un leĦėa argumenta α
aprēėināšanai iegūst no taisnleĦėa trijstūra ar katetēm a, b un hipotenūzu A (4.1. att.), piemēram:
A = Re2 (A) + Im2 (A) = a2 + b2 ,
α = = α =
+
arctg =
A
A
arctg
b
a
A
A A
b
A
Im( )
Re( )
arccos
Re( )
Re ( ) Im ( )
vai arccos
2 2
.
Pēdējās divas formulas dod tikai leĦėa argumenta galvenās vērtības. Pie tam formula, kurā izmantota arctg
funkcija, nebūs korekta gadījumā, ja kompleksā lieluma reālā daĜa ir 0. Tāpēc, nosakot argumentu α, sekojiet tā
novietojumam kompleksu plaknē (piemēram, ja reālā un imaginārā daĜa ir negatīvas, arguments meklējams 3.
kvadrantā - robežās no −180o līdz −270o).
Starp citu, aplūkojot sinusoīdu attēlojošo vektoru kā kompleksu skaitli, varam vēlreiz pārliecināties par vektora
un sinusoīdas savstarpējo atbilstību. PieĦemsim, ka spriegums mainās sinusoidāli: u = Um sin (ωt + ψ).
Iedomāsimies, ka šis spriegums būtu attēlots ar šādu kompleksu lielumu:
Ume
j(ωt+ψ ) .
Lai noskaidrotu šīs izteiksmes jēgu, izdalīsim no tās sprieguma kompleksu:
Ume U e e U e
j t
m
j j t
m
(ω +ψ ) ψ ω jωt . = ⋅ =
Šajā izteiksmē ir sprieguma vektoram atbilstošais komplekss Um (tiešām, tā modulis ir Um, bet virzienu nosaka
sākuma fāzes leĦėis ψ), kas pareizināts ar e jωt. Atcerēsimies, ka pareizināt ar ejα nozīmē pagriezt vektoru
kompleksu plaknē par leĦėi α. Tas savukārt nozīmē to, ka apskatāmais kompleksais lielums būtībā ir spriegumu
attēlojošais vektors, kas rotē ap koordinātu sākuma punktu. Pārveidosim izteiksmi tā, lai būtu redzama arī šī
rotējošā vektora saistība ar sinusoīdu. Šai nolūkā pāriesim no eksponenciālās formas uz trigonometrisko:
Ume U t jU t
j t
m m
(ω ψ ) cos( ) sin( ). ω ψ ω ψ + = + + +
Redzams, ka izteiksmes imaginārā daĜa: Um sin (ωt + ψ) ir sinusoīdas momentānās vertības izteiksme. Tas
vēlreiz apstiprina jau zināmo par attēlojošā vektora atbilstību sinusoīdai: ja tas rotētu ap savu sākumpunktu, tad tā
projekcija uz vertikālās ass mainītos sinusoidāli. Lai attēlojošais vektors nebūtu rotējošs, bet gan fiksēts sākuma
stāvoklī, kompleksa izteiksmē reizinātājs e jωt atmests, atstājot tikai U m .
Sinusoidālu spriegumu (strāvu, EDS) attēlošana kompleksu plaknē
Atcerēsimies, kā sinusoidālu spriegumu (strāvu) aizstāj ar vektoru: sinusoīdas efektīvo vērtību (vai
dažreiz arī tai proporcionālo amplitūdas vērtību) attēlo ar vektora garumu, bet sinusoīdas sākuma fāze
nosaka vektora virzienu. Simboliskā metode izmanto to pašu principu, tikai vektoru atliek no
kompleksu plaknes sākumpunkta un apraksta ar kompleksu skaitli. Kompleksā sprieguma (strāvas,
EDS) moduli nosaka efektīvā vērtība U, I vai E (vai amplitūdas vērtība Um, Im vai Em), bet leĦėa
argumentu - tā sākuma fāze ψ. Komplekso spriegumu, strāvu vai EDS pieĦemts apzīmēt ar attiecīgo
lielo burtu, to pasvītrojot, piemēram: U, I, E vai Um Im, Em.
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 3
4.1. piemērs.
Doti šādi elektriskie lielumi: e = 10 sin (ωt + 30o), i = 5 2 sin (ωt + 90o), u = Um sin (ωt + ψ).
Uzrakstīt attēlojošo kompleksu Em, I, U izteiksmes.
Atbilde:
E e j j
I e j j j
U
U
e
U
j
m
j o o
j o o
m j m
o
o
= = + = +
= = + = + =
= = +
10 10 30 30 8 66 5
5 5 90 90 0 5 5
2 2
30
90
(cos sin ) , ,
(cos sin ) ,
ψ (cos sin ). ψ ψ
Elementa vai elementu virknes slēguma kompleksā pretestība
Ja EDS, sprieguma vai strāvas kompleksu varam uzskatīt par kompleksu plaknē novietotu vektoru,
tad kompleksā pretestība būtībā ir kompleksu plaknē novietots pretestību trīsstūris. Atcerēsimies, kā
zīmē pretestību trīsstūri (3.14. att.): horizontāli pa labi atliek nogriezni, kas attēlo aktīvo pretestību R,
pēc tam uz augšu - induktīvo pretestību XL, pēc tam uz leju - kapacitīvo pretestību XC. Ja zīmējumu
veic kompleksu plaknē, tad rezultātā atrod komplekso pretestību Z - trīsstūra hipotenūzu. Tā kā
kompleksās pretestības reālā daĜa ir vienāda ar R, imaginārā daĜa - ar reaktīvo pretestību X = XL − XC,
bet leĦėa arguments ir fāžu nobīdes leĦėis ϕ, tad Z var aprakstīt ar formulām:
Z R j X L XC Z j Ze
j = + ( − ) = (cosϕ + sinϕ ) = . ϕ
Kompleksā pretestība Z (tāpat kā pretestību trīsstūris) ir jēdziens, kas attiecināms nevis uz jebkuru
shēmas daĜu, bet tikai uz elementu virknes slēgumu. Kompleksās pretestības moduĜa Z vērtība ir
vienāda ar virknes slēguma pilno pretestību (arī to apzīmējumi sakrīt). Aizvietošanas shēmai ar
kompleksām pretestībām to izteiksmes atrod ar formulu:
Z = R + j ( X L − XC ). (4.0)
Virknes slēguma speciālgadījums ir atsevišės elements (R, L vai C). Tātad ar komplekso pretestību
var aprakstīt arī atsevišėus elementus. Lietojot simbolisko metodi, kompleksā pretestība ir vienīgais
pretestības tips, tāpēc shēmā tās apzīmēšanai izmanto aktīvās pretestības apzīmējumu.
4.2. piemērs.
Sagatavot 4.2.,a att. parādīto shēmu aprēėinam ar simbolisko metodi. Uzrakstīt komplekso pretestību
izteiksmes.
Shēmas parametri: R1 = R2 = R3 = R4 = 10
, XL1 = XL2 = 12
, XC1 = XC2 = 5
.
a) b)
Z1
Z2 Z3 Z4 U
4.2. att. a) aprēėināmā shēma, b) aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām.
Atrisinājums.
Dotajā shēmā ir 4 elementu grupas, kas satur virknes slēgumu vai vienu atsevišėu elementu: 1) R1, C1 un R2, 2)
R3, 3) C2 un L1, 4) L2 un R4. Tāpēc aizvietošanas shēmā (4.2.,b att.) ir 4 kompleksās pretestības ar šādām vērtībām:
Z1 = R1 + R2 - jXC1 = 10 + 10 - j5 = 20 - j5,
Z2 = R3 = 10 ,
Z3 = jXL1 - jXC2 = j12 - j5 = j7 ,
Z4 = R4 + jXL2 = 10 + j12 .
Aizvietošanas shēmu pamatformulas kompleksā formā
Pēc tam, kad aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām izveidota, un dotie spriegumi vai
EDS aizstāti ar kompleksām vērtībām, doto maiĦstrāvas ėēdi aprēėina ar tām pašām metodēm kā
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 4
līdzstrāvas ėēdi. Šādu iespēju nosaka tas apstāklis, ka elementu tipu skaits un pamatvienādojumu
struktūra ir tāda pati kā līdzstrāvas ėēdēs (skat. 4.1. tabulu). Zemāk šīs formulas komentētas.
4.1. tabula. MaiĦstrāvas ėēžu pamatformulas kompleksā formā (salīdzināšanai).
Vienādojumi Līdzstrāvai Simboliskā metode
Elementu U = −E U = −E (2.1), (4.1)
vienādojumi U = R I U = Z I (2.2), (4.2)
Spriegumu U13 = U12 + U23 U 13 =U 12 + U 23 (2.5), (4.5)
un Σ ± E = Σ ± R I Σ ± E== Σ ± Z I (2.5a), (4.5a)
strāvu vienādojumi Σ ± I = 0 Σ ± I = 0 (2.6), (4.6)
Divpola jauda P = U I S = U I*=P ± jQ (2.7), (4.7)
Elementu vienādojumi
Simboliskā metode samazina aizvietošanas shēmu elementu tipu skaitu - tāpat kā līdzstrāvas
gadījumā tagad arī maiĦstrāvas ėēdē ir tikai divi elementu tipi - kompleksais EDS E un kompleksā
pretestība Z.
Elementa E vienādojums ir tāds pats kā vektoru diagrammu metodē, tikai vektorus aizstāj
kompleksie lielumi:
U = −E . (4.1)
Visus pretestību tipus (R, XL un XC), kā arī elementu virknes slēgumu aizstāj viens elements -
kompleksā pretestība Z,. Kompleksās pretestības vienādojumam ir Oma likuma forma:
U = Z I . (4.2)
Salīdzinot ar vektoru diagrammu metodi, ieguvums ir acīmredzams: viens pats vienādojums (4.2)
aizstāj veselas astoĦas sakarības (četras Oma likuma izteiksmes un četras izteiksmes, kas parāda fāžu
nobīdi katram no elementiem un virknes slēgumam).
Pierādīt vienādojuma (4.2) pareizību var šādi. PieĦemsim, ka divpolam pielikts sinusoidāls
spriegums u, un tajā plūst strāva i:
u = U sin ( t + ) , i m ω ψ U = Im sin (ω t + ψ I ) .
Ievērosim, ka fāžu nobīde starp sprieguma un strāvas sinusoīdām šeit ir:
ϕ =ψ U −ψ I .
Attēlosim divpola spriegumu un strāvu ar kompleksiem lielumiem. Eksponenciālā forma izvēlēta,
zinot ka tā ir vispiemērotākā, lai veiktu komplekso lielumu dalīšanu.
U = U e j U I = I e j I Ψ , Ψ .
Izdalot komplekso spriegumu ar komplekso strāvu, tiešām iegūstam divpola komplekso pretestību:
U
I
Ue
I e
U
I
e Z e Z
j
j
j j
U
I
= = U I = = −
ψ
ψ
(ψ ψ ) ϕ .
Spriegumu un strāvu vienādojumi
Atcerēsimies, ka vektoru diagrammu metode atĜauj spriegumu un strāvu vienādojumos (1.5) un
(1.6) spriegumu (strāvu) sinusoīdu momentāno vērtību vietā summēt attēlojošos vektorus - vienādojumi
(3.5) un (3.6). Līdzīgi tam, lietojot simbolisko metodi, sinusoīdu vietā saskaita spriegumu (strāvu)
kompleksus. Piemēram, spriegumu vienādojums:
U U U 13 = 12 + 23 , (4.5)
kur 1, 2 un 3 - trīs shēmas punktu apzīmējumi.
Strāvu vienādojums (pirmais Kirhofa likums) kompleksā formā:
Σ± I = 0. (4.6)
To formulē līdzīgi visiem strāvu vienādojumiem: strāvu kompleksu algebriskā summa shēmas
mezgla punktā ir vienāda ar nulli. “Algebriskā summa” nozīmē sekojošo: ja strāvas bultiĦa shēmā (tā
norāda strāvas pieĦemto pozitīvo virzienu) vērsta attiecīgā mezgla virzienā, tad to ievieto vienādojumā,
teiksim, ar plusa zīmi, bet ja tā vērsta prom no mezgla - ar pretēju zīmi.
Tā kā simboliskā metode aplūko tikai divus elementu tipus (E un Z), tad, tāpat kā līdzstrāvas ėēdēs,
iespējams korekti formulēt arī otrā Kirhofa likuma izteiksmi kompleksā formā:.
Σ± E =Σ± Z I . (4.5a)
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 5
Tas nozīmē: noslēgtā kontūrā EDS kompleksu algebriskā summa ir vienāda ar komplekso
sprieguma kritumu (Z I) algebrisko summu. “Algebriskā summa” jāsaprot šādi: strāva vai EDS
vienādojumā ir ar plusa zīmi, ja šīs strāvas (vai EDS) pieĦemtais pozitīvais virziens sakrīt ar pieĦemto
kontūra apejas virzienu.
Divpola kompleksā jauda
Kompleksā jauda S ir komplekss lielums, kura reālā daĜa ir aktīvā jauda P, bet imaginārā daĜa -
reaktīvā jauda Q. Formula divpola kompleksās jaudas aprēėināšanai izveidota mākslīgi, ievērojot, ka
vienkārši sareizinot sprieguma un strāvas kompleksus, rezultāts būtu nepareizs. PieĦemsim, ka divpola
spriegums un strāva savstarpēji nobīdīti fāzē par leĦėi ϕ un attēloti ar kompleksiem U un I.
U = U e j U I = I e j I Ψ , Ψ . ϕ =ψ ψ U − I
Apskatīsim šo reizinājumu, lai redzētu, kādai jābūt pareizai kompleksās jaudas formulai.
U I Ue j I e j UI e j UI jUI
U I U I
= U ⋅ I = U I = + + + ψ ψ ψ +ψ ψ ψ ψ ψ ( ) cos ( ) sin ( ) .
Ja pēdējā izteksmē abās iekavās būtu nevis sākuma fāžu summa, bet to starpība - t.i., fāžu nobīde ϕ,
tad iegūtā rezultāta reālā daĜā būtu vienāda ar aktīvo jaudu P = UI cos ϕ, bet imaginārā daĜa - ar
reaktīvo jaudu Q = UI sin ϕ. Šādu pareizu rezultātu varētu iegūt, piešėirot strāvas sākuma fāzei ψI
negatīvu zīmi - t.i., aizstājot jaudas formulā strāvas kompleksu ar tā saistīto kompleksu I*:
U I * Ue j U I e j I UI e j( U I ) UI e j UI cos jUI sin = ⋅ = = = + ψ − ψ ψ −ψ ϕ ϕ ϕ .
Tas nozīmē, ka divpola kompleksās jaudas formula ir sekojoša:
S = U I * = P ± j Q. (4.7)
Tātad sareizinot sprieguma kompleksu ar strāvas saistīto kompleksu, iegūstam jaudas kompleksu S,
kura reālā daĜa ir divpola aktīvā jauda P = UI cos ϕ, bet imaginārā daĜa - reaktīvā jauda Q.
Ja divpols-patērētājs ir induktīva rakstura (ϕ > 0), tad kompleksās jaudas imaginārā daĜa ir pozitīva,
bet, ja divpolam ir kapacitīvs raksturs - negatīva. Tātad pēc kompleksās jaudas imaginārās daĜas var
spriest par patērātās reaktīvās jaudas raksturu.
Redzams, ka arī aprēėinot jaudu, simboliskajai metodei ir zināmas priekšrocības, salīdzinot ar
vektoru diagrammu metodi: aktīvo un reaktīvo jaudu var aprēėināt vienā paĦēmienā.
Ekvivalento pārveidojumu formulas
Salīdzinot (4.1.tabulā) aizvietošanas shēmu vienādojumus simboliskā formā (elementu
vienādojumus, spriegumu un strāvu vienādojumus, otrā Kirhofa likuma un divpola jaudas izteiksmes)
ar atbilstošiem līdzstrāvas ėēžu vienādojumiem, redzēsim, ka tās ir gandrīz analoăiskas. Līdzīgas ir arī
pretestību ekvivalento pārveidojumu formulas. Pretestību virknes un paralēlslēguma ekvivalentas
pārveidošanas formulās atliek nomainīt pretestības R ar kompleksām pretestībām:
virknes slēgumam: Z = Z1 + Z 2 + L (4.8) - paralēlslēgumam:
1 1 1
1 2 Z Z Z
= + +K (4.9)
Vēlreiz jāuzsver, ka pēdējā formula ir spēkā tikai kompleksām pretestībām Z (bet nekādā
gadījumā ne to moduĜiem Z!). Aprēėiniem ar iepriekšējā nodaĜā iztirzāto vektoru diagrammu metodi
līdzīgas formulas nav.
Simboliskās metodes lietošanas piemēri
Aprēėinot maiĦstrāvas ėēdi ar simbolisko metodi:
• katru no virknes slēgumiem, ko veido pasīvie elementi R, L un C (vai atsevišėu šādu
elementu) shēmā attēlo ar attiecīgu komplekso pretestību Z, izmantojot formulu (4.0),
• dotos avotu spriegumus vai EDS attēlo ar kompleksiem lielumiem,
• aprēėina strāvu, jaudu un spriegumu kompleksās vērtības, izmantojot kādu no 2. nodaĜā
aplūkotās līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodēm,
• atrod aprēėinātajiem kompleksiem atbilstošās strāvas, jaudas un spriegumus.
4.3. piemērs.
Aprēėināsim vienu no iepriekšējā nodaĜā atrisinātajiem uzdevumiem ar simbolisko metodi. Salīdzināsim
risinājuma metodes un rezultātus.
MaiĦsprieguma avotam ar spriegumu U = 100 V pieslēgta ėēde ar 3 paralēliem zariem (4.3.,a att.). Dotie
lielumi: U = 100 V, R11 = 10
, R12 = 20
, XC1 = 30
, R2 = 80
, XL2 = 100
, XC2 = 40
, XC3 = 100
.
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 6
Aprēėināt visas strāvas, patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu katrā zarā un visā ėēdē, kā arī spriegumu starp punktiem
a un b.
a)
I1 R11 I2 I3
a
d
b
R12 f
R2
C2
C1
L2
U C3
I
b)
4.3. att.: a) maiĦstrāvas ėēde ar paralēliem zariem, b) aizvietošanas shēma aprēėinam ar simbolisko metodi.
1. Shēmā ir trīs zari. Katru no tiem aizstājam ar komplekso pretestību (4.3.,b att.). Komplekso pretestību vērtības:
Z1 = R11 + R12 − j XC1 = 30 − j 40 , Z 2 = R2 + j X L2 − j XC2 = 80 + j 100 − j 40 = 80 + j 60 ,
Z 3 = − j XC3 = − j100 .
2. Doto spriegumu U aizstājam ar kompleksu lielumu U. Sprieguma sākuma fāzi varam izvēlēties brīvi, tāpēc
visvienkāršāk pieĦemt to vienādu ar nulli. Citiem vārdiem, uzskatām, ka kompleksajam spriegumam ir tikai
reālā daĜa: U = 100 + j0.
3. Aizvietošanas shēmu aprēėinām līdzīgi līdzstrāvas ėēdei: tā kā spriegums uz katras pretestības ir zināms,
atrodam zaru strāvas, un pēc tam kopējo strāvu. Vienīgā atšėirība: aprēėinus izdarām ar kompleksiem
skaitĜiem:
I
U
Z j
j
j j
j
j 1
1
100
30 40
100 30 40
30 40 30 40
100 30 40
900 1600
= = 1 2 1 6
−
=
+
− +
=
+
+
= +
( )
( )( )
( )
, , ,
I
U
Z j
j
j j
j
j 2
2
100
80 60
100 60
60 60
100 60
6400 3600
= = 0 8 0 6
+
=
−
+ −
=
−
+
= −
(80 )
(80 )(80 )
(80 )
, , ,
I
U
Z j j
j 3
3
100
100
1
= = 1
−
=
−
= + .
Iegūtas zaru strāvu kompleksās izteiksmes algebriskā formā. Salīdziniet to reālās daĜas (1,2; 0,8; 0) un
imaginārās daĜas (1,6; -0,6; 1) ar strāvu aktīvajām un reaktīvajām komponentēm, ko ieguvām, risinot šo
uzdevumu 3. nodaĜā ar vektoru diagrammu metodi. Šīs vērtības attiecīgi sakrīt. Ievērojiet, ka šeit tie paši
rezultāti iegūti vienkāršāk - vispār iztiekot bez fāžu nobīdes leĦėu aprēėina.
Kopējo strāvu kompleksā formā atrodam, izmantojot pirmo Kirhofa likumu:
I = I 1 + I 2 + I 3 = + j + − j + j = + j (1,2 1,6) (0,8 0,6) 1 2 2 .
Atsevišėu zaru kompleksās jaudas atrodam, sareizinot sprieguma kompleksu ar attiecīgā zara strāvas
saistīto kompleksu:
S U I j j 1 1 = = 100 1 2 − 1 6 = 120 − 160 * ( , , ) ,
S U I j j 2 2 = = 100 0 8 + 0 6 = 80 + 60 * ( , , ) ,
S U I j j 3 3 = = 100 − 1 = − 100 * ( ) .
Visas shēmas patērētā kompleksā jauda:
S = S1 + S 2 + S 3 = − j + + j − j = − j 120 160 80 60 100 200 200 .
Ievērojiet, ka simboliskā metode automatizē arī jaudu aprēėinu - arī te nav jānosaka fāžu nobīdes leĦėi.
4. Atrodam strāvu efektīvās vērtības - tās ir komplekso strāvu moduĜi (tos atrod līdzīgi kā vektoru moduĜus):
I1 I I A
2
1
2
1
= Re ( ) + Im ( ) = 1,22 + 1,62 = 2 ,
I 2 I I A
2
2
2
2
= Re ( ) + Im ( ) = 0,82 + 0,62 = 1 ,
I 3 I I A
2
3
2
3
= Re ( ) + Im ( ) = 02 + 12 = 1 ,
I = Re2 (I ) + Im2 (I ) = 22 + 22 = 2,83 A .
Aktīvā jauda P ir attiecīgās kompleksās jaudas reālā daĜa. Reaktīvā jauda Q ir kompleksās jaudas
imaginārā daĜa. Pie tam pozitīva imaginārā daĜa norāda, ka reaktīvā jauda ir ar induktīvu raksturu, bet negatīva
- uz reaktīvās jaudas kapacitīvu raksturu.
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 7
P1 S1 W = Re( ) = 120 , P2 S 2 W = Re( ) = 80 , P3 S 3 W = Re( ) = 0 , P = Re(S) = 200W ,
Q1 S1 VAr = Im( ) = 160 (kapacitīva rakstura reaktīvā jauda), Q2 S 2 VAr = Im( ) = 60 (induktīva),
Q3 S 3 VAr = Im( ) = 100 (kapacitīva rakstura reaktīvā jauda), Q = Im(S) = 200VAr (kapacitīva).
5. Spriegumu starp jebkuriem diviem shēmas punktiem atrodam līdzīgi tam, kā to darītu līdzstrāvas ėēdes shēmā.
No punkta a līdz punktam b ved ceĜš a-d-f-b. Ievērosim, ka šajā ceĜā ir posms a-d, kurā plūst strāva I1 un posms
d-f-b ar strāvu I2. Izsakām meklējamo spriegumu ar abu posmu spriegumiem:
U U U ab = ad + db .
Posmā a-d ir aktīvā pretestība R12, bet posmā d-f-b ir virknē slēgti rezistors R2 un kondensators C2. Abu
posmu kompleksās pretestības tātad ir šādas:
Z R ad = 12 = 20 , Z R j X j db = 2 − C2 = 80 − 40 .
Izsakām abu posmu spriegumus ar posma strāvas un pretestības reizinājumu (ievērojot, ka sprieguma Udb
un strāvas I2 pieĦemtie pozitīvie virzieni nesakrīt, izteiksmē parādīsies mīnusa zīme):
U U U Z I Z I j j j j ab = ad + db = ad 1 − db 2 = + − − − = − + 20 (1,2 1,6) (80 40)(0,8 0,6) 16 112 .
To pašu rezultātu iegūtu arī, uzrakstot spriegumu Uab kā posmu a-e un e-b komplekso spriegumu summu:
U U U Z I Z I j j j j j ab = ae + eb = − ae 1 + eb 2 = − − + + − = − + (10 40) (1,2 1,6) 100 (0,8 0,6) 16 112 .
Atrodam aprēėinātā sprieguma efektīvo vērtību:
Uab = Re2 (U ab ) + Im2 (U ab ) = 162 + 1122 = 112,3V .
Starp citu, ar vektoru diagrammu metodi šo spriegumu aprēėināt būtu visai neparocīgi: vajadzētu vektoru
diagrammā noteikt vairāku leĦėu vērtības.
6. Vektoru diagramma.
Simboliskās metodes priekšrocība ir tā, ka jebkuru strāvu, jaudu vai spriegumu iespējams atrast,
neizmantojot tādus vektoru diagrammu metodes atribūtus kā fāžu nobīdes leĦėus, jaudas koeficientu un
vektoru diagrammu. Vēl vairāk, vektoru diagrammu iespējams uzzīmēt, vienkārši attēlojot iegūtos rezultātus
kompleksu plaknē. To parasti arī dara, lai iegūtu labāku priekšstatu par strāvu un spriegumu vērtībām, kā arī
fāžu nobīdēm shēmā. Bieži vien vektoru diagrammu zīmēšana notiek paralēli aprēėinam. Tas var palīdzēt
kontrolēt katra aprēėinu soĜa pareizību.
Uzzīmējiet vektoru diagrammu aprēėinātajai shēmai, atliekot kompleksu plaknē aprēėinātos lielumus:
sprieguma un visu strāvu kompleksus un salīdziniet to ar 3.23. att. vektoru diagrammām.
4.4. piemērs.
MaiĦsprieguma avotam ar spriegumu U = 50 V pieslēgta 4.4.,a att. shēma. Dotie lielumi: R1 = R2 =10
,
XL1 = XL2 = 30
, XC1 = XC2 = 20
. Aprēėināt visas strāvas, patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu.
a) b)
4.4.att.: a) maiĦstrāvas ėēde ar jauktu slēgumu, b) shēma ar kompleksām pretestībām.
Atrisinājums.
1. Shēmā ir 3 zari. Uzrakstām komplekso pretestību izteiksmes:
Z1 = R1 − j XC1 = 10 − j 20 , Z 2 = R2 + j X L1 − j XC2 = 10 + j 30 − j 20 = 10 + j 10 ,
Z 3 = j X L2 = j 30 .
Aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām redzama 4.4.,b att. Shēmas struktūra ir tāda pati kā
līdzstrāvas ėēdei 2.7. attēlā, tāpēc arī aprēėina metode ir līdzīga, tikai jālieto kompleksie lielumi.
2. Doto spriegumu pārveidojam kompleksā formā: U = 50.
3. Vispirms ekvivalenti pārveidojam pretestību paralēlslēgumu posmā bc. Pēc tam atrodam visas ėēdes kopējo
ekvivalento pretestību Z:
Z Z Z Z
Z Z
Z Z
j
j j
j j
= + = + j j j
+
= − +
+
+ +
1 23 1 = − + + = −
2 3
2 3
10 20
10 10 30
10 10 30
10 20 5 3 8 8 15 3 11 2
( )
, , , , .
Strāvu nesazarotajā ėēdes daĜā atrodam, izdalot avota spriegumu ar ėēdes kopējo pretestību:
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 8
I
U
Z j
j 1
50
15 3 11 2
= = 2 131 1 557
−
= +
, ,
, , .
Lai aprēėinātu abu zaru strāvas posmā bc, vispirms atrodam šī posma spriegumu:
U Z I j j j bc = 23 1 = + + = − + (5,3 8,8)(2,12 1,56) 2,46 27,05 .
Aprēėinām arī spriegumu posmā ab:
U U U j j ab = − bc = 50 − (−2,4 + 26,8) = 52,46 − 27,05 .
Strāvas posmā bc:
I
U
Z
j
j
bc j
2
2
2 4 26 8
10 10
= = 1 230 1 475
− +
+
= +
, ,
, , , I
U
Z
j
j
bc j
3
3
2 4 26 8
30
= = 0 901 0 082
− +
= +
, ,
, , .
Kompleksā jauda, ko ăenerē avots vai patērē visas kompleksās pretestības:
S = U I 1 = − j = − j * 50 (2,12 1,56) 106,6 77,9 .
Pēdējais rezultāts nozīmē, ka shēma patērē aktīvo jaudu P = 106,6 W un reaktīvo jaudu Q = 77,9 VAr.
Reaktīvā jauda ir kapacitīva rakstura, uz ko norāda mīnusa zīme kompleksās jaudas izteiksmē.
4. Pārejam no strāvu un spriegumu kompleksiem uz to efektīvajām vērtībām, piemēram:
I1 I I A
2
1
2
1
= Re ( ) + Im ( ) = 2,1312 + 1,5572 = 2,640 .
Līdzīgi tam atrodam arī pārējās efektīvās vērtības:
I2 = 1,921 A, I3 = 0,905 A, Uab = 59,0V, Ubc = 27,2V.
5. Aprēėinātās shēmas vektoru diagramma parādīta 4.5. att. Tā uzzīmēta, izvēloties strāvas un sprieguma
mērogus, un atliekot aprēėinātos kompleksos lielumus kompleksu plaknē.
Vispār, aprēėinot shēmu ar simbolisko metodi, vektoru
diagramma noder iegūto rezultātu pārbaudei. Piemēram, tā kā
kompleksā pretestība Z1 ir ar aktīvi kapacitīvu raksturu, tad
strāvai I1 jāapsteidz fāzē spriegums Uab. Uzzīmējot posmam
ab pretestību trijstūri, iespējams pat novērtēt leĦėi, par kuru
šī strāva apsteidz spriegumu Uab, un arī to izmantot
pārbaudei. Vēl, piemēram, pretestība Z3 ir tīri induktīva,
tāpēc strāvai I3 jāatpaliek no sprieguma Ubc tieši par 90o.
Pretestības Z2 raksturs ir aktīvi induktīvs, tāpēc vektoru
diagramma noder, lai pārliecinātos, vai tiešām strāva I2
atpaliek fāzē no sprieguma Ubc par leĦėi, ko nosaka attiecīgā
zara (R2, L2 un C2) pretestību trīsstūris.
4.5. att. Vektoru diagramma kompleksu plaknē.
4.5. piemērs.
Šajā piemērā parādīts, kā maiĦstrāvas ėēdes aprēėinam izmanto vienu no 2. nodaĜā apskatītajām līdzstrāvas
ėēžu aprēėina metodēm. Atšėirība tikai tāda, ka visi elektriskie lielumi jāapraksta ar kompleksiem skaitĜiem.
4.6.,a att. shēmā trīs patērētāji pieslēgti trīsfāžu ăeneratoram. Šādiem avotiem ir trīs EDS ar vienādām
efektīvajām vērtībām - dotajā gadījumā EA = EB = EC = 127 V. EDS savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o:
eA = 127 2 sinωt , eB = 127 2 sin(ωt − 120° ) , eC = 127 2 sin(ωt + 120° ) .
Dotas patērētāja pretestības: R1 = 30
, XL = 40
, XC = 100
, R2 = 50
.
Šāda shēma sastopama trīsfāžu ėēdēs, kuras sistemātiski aplūkotas nākošajā nodaĜā. Pagaidām aprobežosimies
ar šādu uzdevumu: noteikt spriegumu starp shēmas punktiem n un N, kā arī visas strāvas.
Atrisinājums.
1. Aizvietošanas shēmā (4.6.,b att.) jāparāda trīs kompleksās pretestības ar šādām vērtībām:
Z R j X j A = 1 + L = 30 + 40 , Z j X j B = − C = − 100 , Z R C = 2 = 50 .
2. Pārveidojam dotos EDS kompleksā formā. Sekojošās izteiksmēs redzamas visas trīs komplekso skaitĜu formas:
eksponenciālā, trigonometriskā un algebriskā:
E A = 127 ,
E e j j B
j = = °− ° = − − 127 − 120° 127(cos120 sin120 ) 63,5 110 ,
E e j j C
j = = °+ ° = − + 127 120° 127(cos120 sin120 ) 63,5 110 .
a) b)
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 9
A
B
C
EB
EA
EC
N n
ZA IA
IB
IC
ZB
ZC
4.6. att.: a) aprēėināmā shēma, b) aizvietošanas shēma ar kompleksiem lielumiem.
3. Aizvietošanas shēmā ir 2 mezgli, tādēĜ tās aprēėinam piemērota ir mezglu spriegumu metode. Mezglu
sprieguma aprēėināšanai izmantosim no līdzstrāvas ėēžu aprēėina pazīstamo formulu (2.10), aizstājot tajā
visus lielumus ar kompleksiem:
U
E Y E Y E Y
nN Y Y Y
A A B B C C
A B C
=
+ +
+ +
.
Izteiksmē visi kompleksie EDS ir ar plusa zīmi, jo to bultiĦas vērstas uz punktu n (mezglu sprieguma pirmais
indekss). Ar Y pieĦemts apzīmēt komplekso vadītspēju - tā ir kompleksajai pretestībai Z apgriezts lielums.
Aprēėinām visu trīs zaru kompleksās vadītspējas:
Y
Z j
j
j j
j A
A
= =
+
=
−
+ −
= −
1 1
30 40
30 40
30 40 30 40
0 012 0 016
( )( )
, , ,
Y
Z j
j B
B
= =
−
=
1 1
100
0,01, Y
C Z
C
= = =
1 1
50
0,02 .
Ievietojam šīs vērtības mezglu sprieguma izteiksmē un aprēėinām to:
U
j j j j
j j
j e nN
j =
− + − − + − +
− + +
= − = − ° 127 0 012 0 016 63 5 110 0 01 63 5 110 0 02
0 012 0 016 0 01 0 02
43 5 6 42 44 9 ( , , ) ( , ) , ( , ) ,
, , , ,
, , .
Ar pēdējo darbību sprieguma kompleksa algebrisko formu pārveidojām par eksponenciālo, atrodot, ka mezglu
sprieguma UnN efektīvā vērtība ir 44 V, bet sākuma fāze: −9o.
Lai atrastu strāvas, jāzina spriegums, kas pielikts katram no patērētājiem. Ievērojiet, ka tas nebūt nav mezglu
spriegums UnN ! Aprēėinām šos spriegumus, izmantojot spriegumu vienādojumu (4.5) un EDS vienādojumu (4.1):
U U U E U j j An = AN + Nn = A − nN = 127 − 43,5 + 6,43 = 83,5 + 6,43,
U U U E U j j j Bn = BN + Nn = B − nN = −63,5 − 110 − 43,5 + 6,43 = −107 − 103,6 ,
U U U E U j j j Cn = CN + Nn = C − nN = −63,5 + 110 − 43,5 + 6,43 = −107 + 116,4 .
Patērētāju strāvas kompleksā formā:
I
U
Z
j
j
j A
An
A
= =
+
+
= −
83 5 6 43
30 40
110 1 26
, ,
, , , I
U
Z
j
j
j B
Bn
B
= =
− −
−
= −
107 103 6
100
1 04 1 07
,
, , ,
I
U
Z
j
j C
Cn
C
= =
− +
= − +
107 116 4
50
2 14 2 33
,
, , .
Atrodam strāvas vērtību patērētājā ZA:
I A = Re2 (I A ) + Im2 (I A ) = 1,102 +1,262 = 1,68 A .
līdzīgi atrodam arī pārējās strāvas: I B = 1,49 A, IC = 3,16 A.
Šajā piemērā varējām redzēt, kā maiĦstrāvas ėēdes aprēėinā ar simbolisko metodi izmanto ne tikai
vienādojumus, kas ir līdzīgi līdzstrāvas ėēžu vienādojumiem, bet arī līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodes.
Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei 10
5. NODAěA
TRĪSFĀŽU MAIĥSTRĀVAS ĖĒDES
Iepriekšējās nodaĜās iepazināmies ar vienfāzes maiĦstrāvas ėēdēm. Atzīmējām, ka maiĦstrāvas
galvenā priekšrocība, salīdzinot ar līdzstrāvu, ir iespēja to transformēt (paaugstināt un pazemināt
sprieguma vērtību), kas nepieciešams, elektrisko enerăiju pārvadot lielākos attālumos. Gandrīz visas
elektriskās sistēmas, kuru uzdevums ir ražot, pārvadīt un sadalīt patērētājiem elektrisko enerăiju, ir
nevis parastās vienfāzes, bet trīsfāžu maiĦstrāvas sistēmas.
Trīsfāžu sistēmā elektriskās enerăijas avotiem, piemēram, sinhronajam ăeneratoram elektriskajā
spēkstacijā, ir trīs vienādas daĜas - “fāzes”. Ievērojiet, ka terminam “fāze” ir arī cita nozīme nekā līdz
šim lietotā - to attiecina uz katru no trīsfāžu avota, patērētāja vai pārvades līnijas 3 daĜām. EDS visu
ăeneratora statora fāžu tinumos mainās sinusoidāli ar vienu un to pašu frekvenci un vienādām
amplitūdas vērtībām. Šie trīs EDS ir savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o .
Trīsfāžu maiĦstrāvas sistēmu galvenās priekšrocības salīdzinājumā ar vienfāzes maiĦstrāvu ir šādas:
• trīsfāžu sistēma ir kā radīta, lai iegūtu rotējošu magnētisko lauku, - šis apstāklis savā laikā deva
iespēju izveidot visai vienkāršas konstrukcijas trīsfāžu asinhronos elektrodzinējus, kas arī
mūsdienās ir visizplatītākā elektriskā mašīna,
• trīsfāžu pārvades līnijās iespējams panākt vadu materiāla ekonomiju (līdz 25%), salīdzinot ar
tādas pat jaudas vienfāzes maiĦstrāvas līnijām,
• trīsfāžu sistēmā iespējams izmantot jebkuru no diviem pieejamiem spriegumiem, piemēram:
380/660, 220/380, 127/220 V.
Šajā nodaĜā iepazīsimies ar trīsfāžu maiĦstrāvas ėēžu analīzes principiem. Tajās ir spēkā visi
maiĦstrāvas ėēžu vienādojumi. Aprēėinos var lietot kā vektoru diagrammu metodi, tā arī
(sarežăītākiem gadījumiem) simbolisko metodi. Jaunais materiāls šajā nodaĜā būs saistīts galvenokārt
ar trīsfāžu maiĦstrāvas ėēžu topoloăijas īpatnībām. Vienkāršots trīsfāžu ėēdes modelis, kuru lietosim
aprēėinos, sastāv no trīsfāžu maiĦstrāvas avota, idealizētas pārvades līnijas un trīsfāžu patērētāja.
Trīsfāžu sistēmas aizvietošanas shēmas elementi
Trīsfāžu ăeneratora topogrāfiskā diagramma
Trīsfāžu ăenerators ir elektriskā mašīna ar statorā novietotiem trīs tinumiem (fāzēm). Ăeneratora
rotorā ar līdzstrāvu rada magnētisko lauku. Rotoru griež, t.i., pievada tam mehānisko enerăiju.
Magnētiskais lauks pārvietojas attiecībā pret statora tinumiem un inducē tajos EDS. Statora tinumu
izvietojums un magnētiskās ėēdes konfigurācija ir tādi, lai tinumos inducētie EDS būtu sinusoidāli un
savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o:
e A = Em sinω t,
eB Em t
o = sin(ω −120 ),
eC Em t E t
o
m
o = sin (ω − 240 ) = sin (ω +120 ).
a)
eA eB eC
e
ωt
120º 120º 120º
b)
5.1. att. a) trīsfāžu ăeneratora EDS (spriegumu) laika diagramma, b) shēma zvaigznes slēgumā.
Trīsfāžu ăeneratora fāzes iespējams savienot trīsstūra vai zvaigznes slēgumā. Turpmāk, analizējot
trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdes, pieĦemsim, ka ăeneratora fāzes ir savienotas zvaigznē - kā tas redzams
5.1.,b att. aizvietošanas shēmā. Shēmā ir četri punkti: punktiem A, B un C pieslēdz pārvades līnijas
vadus, kas ăeneratoru savieno ar patērētāju. Ceturto punktu N, kurā savienoti visi trīs fāžu tinumi, sauc
par ăeneratora neitrāli.
Shēmā ir 6 spriegumi: UAN, UBN, un UCN ir spriegumi uz ăeneratora fāzēm, no tā arī cēlies termins:
ăeneratora fāžu spriegumi (kopējais apzīmējums: Uf). Spriegumus starp pārvades līnijas vadiem UAB,
UBC un UCA sauc par līnijas spriegumiem (kopējais apzīmējums: Ul).
Analizējot trīsfāžu ėēdes, viens no pamatjēdzieniem ir ăeneratora (avota) topogrāfiskā diagramma.
Atcerēsimies, ka katrs punkts šādā diagrammā raksturo kāda shēmas punkta potenciālu, bet attālums
starp diviem punktiem - šī sprieguma vērtību. Tādējādi topogrāfiskā diagramma visai kompakti satur
informāciju par visiem shēmas spriegumiem.
Lai iegūtu trīsfāžu ăeneratora topogrāfisko diagrammu, vispirms uzzīmējam laika diagrammai
(5.1.,a att.) atbilstošo vektoru diagrammu (5.2.,a att.). A-fāzes EDS vektora virziens šeit pieĦemts
patvaĜīgi. Parasti fāžu secība ir tāda, ka B-fāzes EDS no tā atpaliek fāzē par 120o , utt. Pēc tam,
izmantojot elementa E vienādojumu (3.1), fāžu EDS aizstājam ar spriegumiem:
E A = U AN , E B = U BN , E C = U CN .
Pārnesot spriegumu ŪAN no vektoru diagrammas (saglabājot virzienu) uz topogrāfisko diagrammu
(5.2.,b), tajā iegūstam pirmos divus punktus (A un N). Pārnesot arī pārējos divus spriegumus,
topogrāfiskajā diagrammā parādās arī punkti B un C. Pabeigta topogrāfiskā diagramma redzama 5.2.,c
att. Punkti A, B un C ir izvietoti vienādmalu trīsstūra virsotnēs, bet punkts N - tā simetrijas centrā. Šāda
diagramma ir raksturīga jebkuram (zvaigznē slēgtam - saskaĦā ar mūsu vienošanos) trīsfāžu
ăeneratoram - diagrammas atšėiras vienīgi ar mērogu.
Topogrāfiskajā diagrammā ir divi spriegumu tipi. Visi fāžu spriegumi UAN, UBN, un UCN ir vienāda
lieluma. Savstarpēji vienādi ir arī līnijas spriegumi UAB, UBC, un UCA. Topogrāfiskā diagramma rāda,
ka līnijas sprieguma Ul vērtība ir lielāka par ăeneratora fāzes sprieguma Uf vērtību. Tā kā diagrammā
sastopamās leĦėu vērtības ir tikai 30o, 60o un 120o, tad viegli iegūt sakarību starp līnijas spriegumu un
ăeneratora (ne patērētāja!) fāzes spriegumu:
Ul = 3U f . (5.1)
a) b) c)
A
C B
N
5.2.att.: a) ăeneratora vektoru diagramma, b), c) topogrāfiskā diagramma.
Kas jāzina, lai kāda trīsfāžu ăeneratora topogrāfiskā diagramma būtu pilnīgi noteikta? Izrādās, ka
tikai viens lielums - piemēram, līnijas spriegums. Tiešām, jo šo avotu topogrāfiskās diagrammas
(5.2.,c) atšėiras tikai ar mērogu.
Pārvades līnija
Trīsfāžu sistēmā ăeneratoru (avotu) ar patērētājiem savieno pārvades līnija, kuru veido 3 vai 4 vadi.
Abi varianti ar pieĦemtajiem apzīmējumiem parādīti 5.3. att. Vadus AA, BB un CC sauc par līnijas
vadiem, bet strāvas tajos (IA, IB un IC) - par līnijas strāvām. Četrvadu sistēmā pārvades līnijai ir arī
neitrāles vads N ar strāvu IN . Aizvietošanas shēmās pieĦemtie pozitīvie virzieni līnijas strāvām: no
avota uz patērētāju, bet strāvai neitrāles vadā - pretējā virzienā. No 5.3. att. redzams, ka (neatkarīgi no
patērētāja slēguma veida), sakarības starp strāvām trīsfāžu sistēmā ir šādas:
trīsvadu sistēmā: I A + I B + IC = 0, (5.2)
četrvadu sistēmā: I A + I B + IC = I N . (5.3)
Lai vienkāršotu trīsfāžu sistēmas analīzi un aprēėinus, uzskatīsim pārvades līniju par ideālu (bez
pretestības), t.i., bez sprieguma krituma līnijā. Tas nozīmē uzskatīt, ka punktiem A, B un C līnijas
sākumā (pie ăeneratora) un beigās (pie patērētāja) ir vienādi potenciāli, un topogrāfiskajā diagrammā
šie punkti sakrīt.
a) b)
Ăenerators
Patērētājs
A A
B B
C C
IA
IB
IC
EB
EA
EC
N
5.3. att. Strāvas trīsfāžu pārvades līnijā: a) trīsvadu sistēmā, b) četrvadu sistēmā.
Trīsfāžu patērētājs
Trīsfāžu sistēmā arī patērētājam parasti ir trīs daĜas (fāzes), kuras var būt slēgtas zvaigznē (5.4.,a
att.) vai trīsstūrī (5.4.,b att.). Zvaigznē slēgta patērētāja fāzes apzīmē ar burtiem A, B un C. Šos
indeksus lieto, apzīmējot patērētāja fāžu pretestības (ZA, ZB un ZC) un patērētāja fāžu strāvas (IA, IB un
IC). Trīsstūrī slēgta patērētāja fāzes apzīmē citādi: AB, BC un CA, jo katra patērētāja fāze šeit pieslēgta
diviem līnijas punktiem. Fāžu pretestību (ZAB, ZBC un ZCA) un fāžu strāvu apzīmējumos (IAB, IBC un
ICA) lieto šos indeksus.
Aplūkojot 5.4.,a att., redzēsim, ka zvaigznes slēgumā patērētāja fāzēs plūst līnijas strāvas. TādēĜ
arī fāžu strāvām ir apzīmējumi IA, IB,un IC. Trīsstūra slēgumā (5.4.,b att) līnijas strāvu atrašanai, ja
zināmas fāzes strāvas, lieto mezgla punktiem A, B un C uzrakstītus strāvu vienādojumus:
I A = I AB − I CA, I B = I BC − I AB , I C = I CA − I BC. (5.4)
a)
IC
IB
IA ZA
ZB
ZC
A
IN
B
C
N
n
b)
5.4. att. Trīsfāžu patērētāja slēgumi: a) zvaigznē, b) trīsstūrī.
Spriegumus uz patērētāja fāzēm (atrodiet tos 5.4 att.!) sauc par patērētāja fāžu spriegumiem.
Ievērojiet, ka trīsstūra slēgumā patērētāja fāzēm ir pievadīti līnijas spriegumi: UAB, UBC un UCA.
Zvaigznes slēgumā fāžu spriegumi ir: UAn, UBn un UCn . Pēdējos dažreiz apzīmē it kā vienkāršāk (UA,
UB un UC), taču tad pastāv iespēja kĜūdīties, sevišėi, ja tāpat apzīmēti arī ăeneratora fāžu spriegumi.
Patērētājs var būt simetrisks vai nesimetrisks. Simetrijas noteikums: visu trīs patērētāja fāžu
pretestībām jābūt vienādām ne tikai skaitliski (ZA = ZB = ZC - zvaigznē slēgtam patērētājam vai ZAB =
=ZBC = ZCA - trīsstūrī slēgtam), bet arī pēc rakstura (ϕA = ϕB = ϕC vai ϕAB = ϕBC = ϕCA).
Trīsfāžu patērētāja vektoru diagramma un analīze
Vektoru diagrammas zīmēšanas plāns
PieĦemsim, ka dota trīsfāžu maiĦstrāvas ėēde, un jārisina parastais uzdevums: doti avotu spriegumi
(šeit pietiekami zināt tikai vienu lielumu - līnijas spriegumu, jo ar to ir norādīts mērogs ăeneratora
topogrāfiskajai diagrammai ar visiem sešiem spriegumiem), dota arī patērētāja slēguma shēma un tā
fāžu pretestības. Jāatrod visas strāvas.
Risinot šādus uzdevumus vai analizējot dažādus trīsfāžu patērētāja darba režīmus, būs vieglāk
orientēties tajos, ja Ħemsim vērā, ka jebkurā gadījumā realizējas šāds plāns:
1) patērētāja topogrāfiskā diagramma, 2) fāžu spriegumi tajā, 3) fāžu strāvas- zinot fāžu nobīdes
leĦėus katrai fāzei, 4) pārējās strāvas.
Šo plānu var lietot, aprēėinot un analizējot jebkuru trīsfāžu patērētāja slēgumu. Katram plāna
punktam atbilst ne tikai vektoru diagrammas (sākumā - topogrāfiskās diagrammas) tapšanas posms,
bet arī to var saistīt ar kārtējo analītiska aprēėina posmu.
Tātad vektoru diagrammas zīmēšanu vai aprēėinu sāk ar dotā patērētāja topogrāfisko diagrammu.
Pēc tam, kad fāžu spriegumi tajā ir noteikti, katru patērētāja fāzi var aplūkot atsevišėi kā vienfāzes
maiĦstrāvas ėēdi ar zināmu spriegumu, un atrast tajā attiecīgās fāzes strāvu. Pārējās strāvas (ja tādas
shēmā vēl ir) atrod, lietojot attiecīgās shēmas strāvu vienādojumus (5.3) vai (5.4). Ievērojiet tikai, ka
tajos jāizmanto vektori no uzzīmētās diagrammas, bet nekādā gadījumā ne skaitliskās vērtības.
Trīsfāžu patērētāja topogrāfiskā diagramma
Trīsfāžu patērētāja topogrāfiskajā diagrammā parāda visu patērētāja punktu potenciālus. Zvaigznes
slēgumā patērētājam ir 4 punkti: A, B, C un n (sk. 5.4.,a att. shēmu), trīsstūra slēgumā - 3 punkti: A, B
un C (5.4.,b att.). Patērētāja topogrāfisko diagrammu zīmē, izmantojot ăeneratora topogrāfisko
diagrammu (5.2.,c att). Tā kā pārvades līniju mēs vienojāmies uzskatīt par ideālu (bez pretestības), tad
pamatprincips šeit ir vienkāršs: ja shēmā attiecīgie ăeneratora un patērētāja punkti ir savienoti (ar
līnijas vai neitrāles vadu), tad to potenciāli ir vienādi un arī topogrāfiskajā diagrammā šiem punktiem
jāsakrīt. Citiem vārdiem, patērētāja topogrāfiskajā diagrammā ir zināmi tik punkti, cik vadu savieno
patērētāju ar ăeneratoru.
Jebkurā normālā režīmā patērētājam no avota pienāk vismaz 3 līnijas vadi. Tas nozīmē, ka
patērētāja topogrāfiskajā diagrammā punkti A, B un C atrodas turpat, kur ăeneratora topogrāfiskajā
diagrammā - vienādmalu trīsstūra virsotnēs (5.5.,a,b,c att.). Jāatrod vēl tikai patērētāja neitrāles n (ja
tāda ir) atrašanās vieta diagrammā.
Apskatīsim visus 3 iespējamos gadījumus, parādot diagrammā arī patērētāja fāžu spriegumus.
1) Patērētājs slēgts trīsstūrī - tā shēmā (5.4.,b att.) ceturtā punkta vispār nav. Tad patērētāja
topogrāfiskajā diagrammā visi 3 punkti jau ir zināmi. Tā parādīta 5.5.,a att. Katras fāzes spriegumam
atbilst attālums starp tiem diviem diagrammas punktiem, starp kuriem shēmā ieslēgta šī fāze. Piemēram
AB-fāzes sprieguma vektors ŪAB savieno diagrammas punktus A un B (jāatceras, ka topogrāfiskajā
diagrammā vektora bultiĦa norāda “uz pirmo indeksu” - šajā gadījumā uz punktu A).
2) Patērētājs slēgts zvaigznē ar neitrāles vadu (5.4.,a att.). Tagad visi četri patērētāja punkti ir
savienoti ar attiecīgajiem ăeneratora punktiem. Patērētāja topogrāfiskā diagramma (tāda pati kā
ăeneratoram) parādīta 5.5.,b att. Patērētāja fāžu spriegumi UAN, UBN un UCN ir tādi paši kā ăeneratora
fāžu spriegumi: tagad arī patērētājam ir spēkā sakarība (5.1).
a)
UAB
A
C B
UBC
UCA
b) c)
5.5. att. Patērētāja topogrāfiskā diagramma: a) trīsstūra slēgumam, b) zvaigznes slēgumam ar neitrāles vadu, c)
nesimetriskam patērētājam zvaigznē bez neitrāles vada.
3) Patērētājs slēgts zvaigznē bez neitrāles vada (5.4.,a att.). Tad patērētāja neitrāles n potenciāls un
ăeneratora neitrāles N potenciāls topogrāfiskajā diagrammā nesakrīt. Attālumam Nn atbilstošo
spriegumu ŪnN sauc par neitrāles nobīdi. Topografiskā diagramma šādam gadījumam parādīta 5.5.,c
att. Fāžu spriegumu UAn, UBn un UCn vērtības tagad nav vienādas. Neitrāles nobīde atkarīga no
patērētāja fāžu nesimetrijas pakāpes: fāžu nesimetrijai pieaugot, neitrāles nobīde pieaug.
Īpašā gadījumā - ja patērētājs ir simetrisks - arī zvaigznē slēgtam patērētājam bez neitrāles vada
neitrāles nobīdes nav. Tad diagramma ir tāda pati kā četrvadu sistēmai (5.5.,b att.).
Secinājumi. Ir viens gadījums, kad patērētāja fāžu spriegumu noteikšana nav vienkārša -
nesimetrisks patērētājs zvaigznes slēgumā bez neitrāles vada. Tā ir vienīgā situācija (5.5.,c att.), kad
aprēėināt neitrāles nobīdi un patērētāja fāžu spriegumus iespējams tikai ar simbolisko metodi
.Visos pārējos gadījumos patērētāja fāžu spriegumus iespējams noteikt ar topogrāfiskās diagrammas
palīdzību, t.i., bez sarežăīta aprēėina.
No aplūkotajām diagrammām ir saprotama neitrāles vada nozīme: shēma ar neitrāles vadu
nodrošina arī zvaigznē slēgtam nesimetriskam patērētājam vienādus (simetriskus) fāžu spriegumus.
Lai aprēėinātu vai novērtētu trīsfāžu patērētāja darba režīmu, zīmē patērētāja vektoru diagrammu, kas atkarīga
no slēguma shēmas un patērētāja parametriem. Zemāk aplūkoti iespējamie patērētāja slēguma veidi (zvaigznē ar
neitrāles vadu vai bez tā, vai trīsstūrī) ar nesimetrisku vai simetrisku patērētāju. Katrā no gadījumiem zīmē
patērētāja vektoru diagrammu, realizējot doto plānu (patērētāja topogrāfiskā diagramma - fāžu spriegumi - fāžu
strāvas - pārējās strāvas). Vairumā gadījumu patērētāja topogrāfiskā diagramma un tā fāžu spriegumi jau zināmi
(5.5.,a vai 5.5.,b att.).
Trīsfāžu patērētājs zvaigznes slēgumā
5.6. att.
Zvaigznē slēgtam patērētājam (5.6. att.) ir 4 punkti:
A, B, C, kuriem pievienota pārvades līnija, un
patērētāja neitrāles punkts n. Patērētāja fāžu
pretestības apzīmē ar ZA, ZB un ZC, patērētāja fāžu
strāvas ar IA, IB un IC. Patērētāja fāzēs plūst līnijas
strāvas. Spriegumi uz fāzēm UAn, UBn un UCn
(patērētāja fāžu spriegumi) vispārīgā gadījumā var
nebūt vienādi ar attiecīgo ăeneratora fāžu
spriegumiem UAN, UBN un UCN.
Zvaigznes slēgums ar neitrāles vadu
5.7. att.
Četrvadu sistēmā (5.7. att.) patērētāja
neitrāli n un ăeneratora neitrāli N savieno
neitrāles vads. TādēĜ spriegumi uz
atsevišėām fāzēm UAn, UBn un UCn
(patērētāja fāžu spriegumi) ir vienādi ar
ăeneratora fāžu spriegumiem UAN, UBN un
UCN, jo visi četri patērētāja punkti ir
savienoti ar ăeneratora punktiem
Strāvu neitrāles vadā apzīmē ar IN.
5.8. att. ilustrē patērētāja vektoru diagrammas zīmēšanas plāna realizāciju šai shēmai. Vispirms
zīmē patērētāja topogrāfisko diagrammu (5.8.,a att., skat. arī 5.5.,b att.). Tajā redzams, ka visas
patērētāja fāzes saĦem skaitliski vienādus, bet fāzē savstarpēji par 120° nobīdītus spriegumus UAn, UBn
un UCn , kas ir skaitliski vienādi ar ăeneratora fāzes spriegumu Uf:
U U U U U U U
U
An Bn Cn AN AN AN f
l
= = = = = = =
3
.
Patērētāja topogrāfiskā diagramma ar tajā parādītiem patērētāja fāžu spriegumiem redzama 5.8.,b
att. Nākošais solis: diagrammā iezīmē fāžu strāvu vektorus. Vispārīgā gadījumā, t.i., ja patērētājs ir
nesimetrisks, fāžu strāvas ir dažāda lieluma un dažādi nobīdītas fāzē pret attiecīgo fāžu spriegumiem.
Zinot fāžu sprieguma vērtību un patērētāja fāžu pretestības, var aprēėināt fāžu strāvu efektīvās vērtības:
IA = I B = IC =
U
Z
U
Z
U
Z
f
A
f
B
f
C
, , .
Zinot fāžu nobīdes leĦėus ϕA , ϕB un ϕC , fāžu strāvu vektorus atliek diagrammā (5.8.,b att.).
Un pēdējais solis, zīmējot vektoru diagrammu: tajā parāda strāvu neitrāles vadā . Strāvu
vienādojums šai shēmai (5.3):
I N = I A + I B + IC .
Saskaitot vektoru diagrammā (tikai ne skaitliski!) fāžu strāvu vektorus, atrodam neitrāles vada
strāvas vektoru (5.8.,c att.).
a) b) c)
A
C B
N
UAn
UCn UBn
IA
IB
IC
IB
IC IN
5.8. att. Vektoru diagrammas zīmēšanas gaita patērētājam četrvadu sistēmā.
A
C B
N
UAn
UCn UBn
IA
IB
IC
φ
φ
φ
5.9.att. Simetriska patērētāja vektoru
diagramma.
Ja patērētājs ir simetrisks, t.i., ja visu trīs fāžu
pretestības ir vienādas (pēc lieluma un rakstura):
Z A = ZB = ZC , ϕ A = ϕ B =ϕ C ,
tad visās fāzēs strāvas ir vienāda lieluma un vienādi
nobīdītas pret attiecīgo fāžu spriegumiem.
Summējot šādu fāžu strāvu vektorus (5.3), iegūsim
nulli. 5.9. att. parādīta simetriska zvaigznē slēgta
patērētāja vektoru diagramma.
No šiem diviem piemēriem izriet, ka četrvadu
sistēmā patērētāja fāzes vienmēr saĦem vienāda
lieluma spriegumus, bet strāva neitrāles vadā ir
atkarīga no patērētāja fāžu pretestību nesimetrijas
pakāpes. Ja patērētājs ir simetrisks, tad neitrāles
vadā strāva neplūst: IN = 0.
Zvaigznes slēgums bez neitrāles vada
A
B
C
EB
EA
EC
N n
ZA IA
IB
IC
ZB
ZC
5.10. att. Trīsvadu sistēma ar patērētāju zvaigznē.
Šāda slēguma shēma redzama 5.10. att.
Atšėirībā no četrvadu sistēmas šeit neitrāles
vada nav, un patērētāja neitrāles n potenciāls
vispārīgā gadījumā nav vienāds ar ăeneratora
neitrāles N potenciālu. Topogrāfiskajā
diagrammā tad patērētāja neitrāle n būs
nobīdīta (5.5.,c att.) un patērētāja fāžu
spriegumi UAn, UBn un UCn būs dažāda
lieluma. Vienīgais izĦēmuma gadījums - ja
patērētājs ir simetrisks.
a) Zvaigznē slēgts simetrisks patērētājs bez neitrāles vada.
Tā kā visu patērētāja fāžu pretestības ir vienādas pēc lieluma un rakstura, tad nav pamata domāt, ka
uz kādas no tām sprieguma vērtība atšėirtos no citām. Patērētāja topogrāfiskā diagramma ir tāda pati
kā iepriekšējā gadījumā (arī simetrisks patērētājs, bet četrvadu sistēmā). Turpinot zīmēt patērētāja
vektoru diagrammu pēc plāna (... - fāžu spriegumi - fāžu strāvas - pārējo strāvu šeit nav), iegūstam to
pašu vektoru diagrammu kā 5.9. att.
Tā kā diagrammas abiem gadījumiem pilnīgi sakrīt, tad varam izdarīt svarīgu secinājumu: ja
zvaigznē slēgts patērētājs ir simetrisks, tad neitrāles vads nav nepieciešams.
b) Zvaigznē slēgts nesimetrisks patērētājs bez neitrāles vada.
Ja patērētāja fāžu pretestības nav vienādas, tad topografiskajā diagrammā punkts n nesakrīt ar N -
tas nozīmē, ka starp šiem shēmas punktiem pastāv spriegums UnN (neitrāles nobīde), kas ir jo lielāks, jo
lielāka ir patērētāja fāžu nesimetrija. Lai aprēėinātu neitrāles nobīdes vektoru, nepieciešams lietot
kompleksos lielumus (simbolisko metodi), kā tas parādīts 4. nodaĜā. Šeit aprobežosimies ar aptuvenu
norādījumu par patērētāja neitrāles n nobīdes virzienu: ja kādā no fāzēm (A, B vai C) pretestību
samazina, punkts n topografiskajā diagrammā pārvietojas attiecīgās fāzes punkta virzienā. Piemērs:
ja fāzē B pretestību samazina līdz nullei, tad punkts n diagrammā sakrīt ar punktu B.
Pēc tam, kad neitrāles nobīde atrasta, patērētāja fāžu spriegumu vektorus atliek, savienojot
diagrammā punktu n ar punktiem A, B un C. BultiĦas - punktu A, B un C virzienā.
5.11. att.
Atšėirībā no visiem iepriekšējiem gadījumiem
aprēėinā tagad fāžu spriegumu vērtības ir dažādas,
kas jāievēro, aprēėinot fāžu strāvu vērtības:
I A = I B = IC =
U
Z
U
Z
U
Z
An
A
Bn
B
Cn
C
, , .
Zinot fāžu nobīdes leĦėus ϕA , ϕB un ϕC , fāžu
strāvu vektorus diagrammā (5.11. att.) atliek
attiecībā pret patērētāja fāžu spriegumiem.
Avārijas režīmi trīsvadu sistēmā
Aplūkosim divus patērētāja nesimetrijas robežgadījumus - ja vienas fāzes pretestība ir bezgalīgi
liela (fāzes pārtraukums) vai vienāda ar nulli (fāzes īsslēgums) - trīsvadu sistēmā. Četrvadu sistēmā
patērētāja fāzes saĦem ăeneratora fāžu spriegumus, tāpēc vienas fāzes pārtraukuma gadījumā abu
pārējo fāžu spriegumi paliktu bez izmaiĦām, bet fāzes īsslēgums būtu bīstams avārijas režīms
(izsekojiet shēmā strāvas ceĜam bez pretestības!). Turpretī trīsvadu sistēmā (5.12.,c,d att.), vienas fāzes
īsslēguma gadījumā patērētājs vēl varētu darboties – gan ar pārspriegumu abās pārējās fāzēs.
Izpētīsim, kas notiek ar fāžu spriegumiem abos minētajos avārijas gadījumos ar zvaigznē slēgtu
patērētāju trīsvadu sistēmā.
5.12.,a att. shēmā C-fāze ir pārtraukta (t.i., fāzes pretestība ZC ir bezgalīgi liela). Tad topogrāfiskajā
diagrammā (5.12.,b att.) punkts n attālinās no C. Ja visas patērētāja pretestības ir rezistīvas, tad tas
atrodas uz taisnes AB. Topogrāfiskā diagramma rāda, ka spriegumi uz pārējām fāzēm ir samazināti.
Starp citu, šajā slēgumā patērētāja fāzes pārtraukums nozīmē to pašu, ko pārrāvums vienā līnijas vadā.
Pārējās divas fāzes tagad faktiski ir pieslēgtas vienfāzes avotam ar spriegumu UAB un veido virknes
slēgumu (sprieguma dalītāju).
a) b) c) d)
5.12. att. Patērētāja topogrāfiskā diagramma avārijas režīmos: b) fāzes pārtraukuma gadījumā, d) īsslēgumā.
5.12.,c att. shēmā C-fāzē ir īsslēgums (t.i., šīs fāzes pretestība ZC ir nulle). Topogrāfiskā diagramma
parādīta 5.12.,d att. Shēmas punkti n un C tagad savienoti, tiem ir vienādi potenciāli, tāpēc diagrammā
tie sakrīt. Redzam, ka spriegums uz C-fāzes ir vienāds ar nulli, bet spriegumi uz abām pārējām fāzēm
palielinās 1,73 reizes - kĜūst vienādi ar līnijas spriegumu. Vēl viena ilustrācija neitrāles vada nozīmei -
četrvadu sistēmā avarējusī fāze (teiksim, viena dzīvokĜa patērētāji) tiktu atslēgta, bet pārējās divas
turpinātu normāli darboties.
Trīsfāžu patērētājs trīsstūra slēgumā
Spriegumu skaita ziĦā trīsstūra slēgums (5.13.,a att.) ir vienkāršāks nekā zvaigznes slēgums, jo
patērētājam ir tikai 3 punkti: A, B, C. Katrai no fāzēm tieši pievadīts līnijas spriegums, tātad patērētāju
fāžu pretestību izmaiĦas šos spriegumus ietekmēt nevar. Toties strāvu skaits ir ievērojami lielāks: ir 3
fāžu strāvas un 3 līnijas strāvas. Patērētāja fāžu pretestības te apzīmē ar ZAB, ZBC un ZCA, patērētāja
fāžu strāvas - ar tiem pašiem indeksiem: IAB, IBC un ICA. Līnijas strāvas apzīmē kā parasti: IA, IB un IC.
Patērētāja vektoru diagrammu zīmēsim, vadoties no iepriekš lietotā plāna (patērētāja topogrāfiskā
diagramma - fāžu spriegumi - fāžu strāvas - pārējās strāvas). Tā kā topogrāfiskā diagramma ar tajā
parādītiem fāžu spriegumiem ir pazīstama no iepriekšējā (tā atkārtoti parādīta 5.13.,b att.), tad atliek
vektoru diagrammu papildināt ar fāžu strāvu vektoriem, un, tos saskaitot saskaĦā ar strāvu
vienādojumiem (5.4):
I A = I AB − I CA, I B = I BC − I AB , I C = I CA − I BC ,
atrast līniju strāvu vektorus.
a) b)
UAB
A
C B
UBC
UCA
5.13. att. Patērētājs trīsstūra slēgumā: a) shēma, b) topogrāfiskā diagramma ar fāžu spriegumiem tajā.
Sāksim ar vispārīgāku gadījumu, kad patērētājs ir nesimetrisks, t.i., tā fāžu pretestības nav vienādas.
Lai padarītu ērtākas turpmākās darbības ar strāvu vektoriem, vispirms no patērētāja topogrāfiskās
diagrammas (5.13.,b att.) fāžu spriegumu vektorus pārnesīsim uz vektoru diagrammu tā, lai tie izietu
no viena kopēja punkta (5.14.,a att.).
Fāžu strāvu efektīvās vērtības atrod, izdalot fāzes sprieguma Uf (kas vienāds ar līnijas spriegumu
Ul) efektīvo vērtību ar fāzes pilno pretestību:
I =
U
Z
, I =
U
Z
, I =
U
Z AB
f
AB
BC
f
BC
CA
f
CA
.
Fāžu strāvu vektori ir nobīdīti fāzē attiecībā pret fāžu spriegumiem par leĦėiem ϕAB, ϕBC, ϕCA,
kurus nosaka fāžu pretestību vērtības un raksturs. Turpinot zīmēt vektoru diagrammu, atliekam fāžu
strāvu IAB, IBC, ICA vektorus. Fāžu strāvu vērtības un nobīdes leĦėi šeit izvēlēti brīvi (5.14.,a att.).
Vektoru diagrammas zīmēšanu pabeidz, atrodot līnijas strāvu vektorus (5.14.,b att.). Visi trīs fāžu
strāvu vektori sākas kopējā punktā. Katra līnijas strāva ir divu fāžu strāvu vektoriāla starpība (5.4). Šo
vektoru starpību viegli atrast, savienojot abu vektoru galapunktus, kā tas redzams 5.14.,b,c attēlā.
a) b) c)
5.14. att. Trīsstūrī slēgta patērētāja vektoru diagramma: a) spriegumi un fāžu strāvas, b) parādītas arī līnijas
strāvas, c) speciālgadījums: vektoru diagramma simetriskam patērētājam.
Simetriskam patērētājam fāžu pretestības ir vienādas pēc lieluma un rakstura: ZAB = ZBC = ZCA un
ϕAB = ϕBC = ϕCA = ϕ. Vektoru diagramma (5.14.,c att.) atšėiras no iepriekš aplūkotās tikai ar to, ka fāžu
strāvu vektori ir vienāda garuma un vienādi nobīdīti pret attiecīgo fāžu spriegumiem. Trīsstūrī, ko
veido divu fāžu strāvu (IAB un IBC) un līnijas strāvas IB vektori, leĦėis starp fāzes strāvu vektoriem ir
120o. Zinot to, var iegūt sakarību starp fāzes un līnijas strāvām:
Il = 3 I f . (5.5)
Ievērosim, ka šī sakarība ir spēkā tikai trīsstūrī slēgtam simetriskam patērētājam.
Simetriska trīsfāžu patērētāja aktīvā jauda
Atsevišėu fāžu aktīvās jaudas nosaka, sareizinot attiecīgās fāzes strāvu ar spriegumu un jaudas
koeficientu (3.7), piemēram, zvaigznē slēgtam patērētājam:
PA = U An I A cosϕ A , PB = UBn I B cosϕ B , PC = UCn IC cosϕ C .
Trīsfāžu patērētāja aktīvā jauda ir vienāda ar atsevišėo fāžu aktīvo jaudu summu:
P = PA + PB + PC .
Bieži sastopami ir simetriski trīsfāžu patērētāji - tādi ir, piemēram, trīsfāžu transformatori,
asinhronie un sinhronie dzinēji. Izrādās, ka simetriskam trīsfāžu patērētājam, neatkarīgi no slēguma
veida (zvaigznē vai trīsstūrī), var lietot vienu un to pašu aktīvās jaudas formulu. Lūk, tās izvedums
zvaigznē slēgtam simetriskam patērētājam:
P P P P P U I
U
A B C f f f I U I
l
= + + = 3 = 3 = 3 l = l l
3
cosϕ cosϕ 3 cosϕ .
Pārveidojumos izmantota sakarība starp zvaigznē slēgta simetriska patērētāja līnijas un fāzes
spriegumiem, ievērojot to, ka visu fāžu patērētās jaudas ir vienādas. Izrādās, ka to pašu rezultātu iegūst
arī trīsstūrī slēgta patērētāja gadījumā, kad vienādi ir līnijas un fāzes spriegumi, bet līnijas strāva
ir 3 reizes lielāka par fāzes strāvu:
P P P P P U I U
I
AB BC CA f f f l U I
l
= + + = 3 = 3 = 3 = l l
3
cosϕ cosϕ 3 cosϕ .
Literatūrā simetriska trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas formula bieži sastopama šādā formā:
P = 3UI cosϕ , (5.6)
kur U, I - līnijas (ne fāzes!) sprieguma un strāvas efektīvās vērtības, cos ϕ - jaudas koeficients, ko
nosaka patērētāja fāzes pretestība. Starp citu, pastāv vienošanās: ja trīsfāžu ėēdes sprieguma un strāvas
apzīmējumā nav indeksa “f” vai “l”, tad ar to ir domāts līnijas spriegums vai strāva.
Trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas mērīšana
Principā trīsfāžu patērētāja patērēto aktīvo jaudu P var izmērīt ar trīs vatmetriem: katru vatmetru
ieslēdz vienas fāzes jaudas mērīšanai. Vatmetru strāvas spoles ieslēdz tā, lai tajās plūstu fāžu strāvas,
bet spriegumu spoles pieslēdz fāžu spriegumiem. Patērētāja aktīvā jauda tad ir vienāda ar visu trīs
vatmetru rādījumu summu.
Ja patērētājs ir simetrisks, tad pietiek ar vienu vatmetru: izmēra vienas fāzes jaudu, un kopējo
jaudu iegūst, mērījuma rezultātu pareizinot ar 3.
Visai izplatīta ir divu vatmetru metode trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas mērīšanai. Tiesa, šī metode
ir piemērota tikai trīsvadu sistēmai, t.i., ja dotais patērētājs pievienots avotam, neizmantojot neitrāles
vadu. Taču tā ir derīga patērētāja zvaigznes un trīsstūra slēgumiem, un neatkarīgi no tā, vai patērētājs ir
simetrisks vai nesimetrisks. Divu vatmetru metodes īpatnība ir tā, ka nevienam no abu vatmetru
rādījumiem neatbilst kāda konkrēta jauda ėēdē, taču abu rādījumu algebriskā summa ir trīsfāžu
patērētāja aktīvā jauda.
a) b)
5.15. att. Trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas mērīšana ar divu vatmetru metodi: a) shēma, b) vektoru
diagramma simetriska patērētāja gadījumā.
Lai uzzinātu, kā trīsfāžu līnijai jāpieslēdz abu vatmetru strāvas un sprieguma ėēdes, aplūkosim
gadījumu, kad patērētājs slēgts zvaigznē. Parādīsim, ka, izmantojot strāvu vienādojumu - uzmanību:
izteiksme (5.2) ir pareiza tikai trīsvadu, bet ne četrvadu sistēmai! -:
ib = −ia − ic ,
trīsfāžu patērētāja momentānās jaudas izteiksmi iespējams pārveidot par divu reizinājumu summu:
p = pA + pB + pC = uAni A + uBniB + uCniC = i A (uAn − uBn ) + iC (uCn − uBn ) = i AuA B + iCuC B .
Pēdējā izteiksme rāda, kā jāpieslēdz abi vatmetri: to strāvas ėēdes jāieslēdz līnijas vados A un C,
bet sprieguma ėēdes - attiecīgi spriegumiem UAB un UCB. Shēma redzama 5.15.,a att. Pirmais vatmetrs
uzrādīs strāvas IA un sprieguma UAB sinusoīdu reizinājuma vidējo vērtību, kam, tāpat kā otra vatmetra
rādījumam, nav nekādas fizikālas jēgas. Taču, kā var spriest no iepriekšējās izteiksmes, vatmetru
rādījumu summa (algebriskā) būs vienāda ar trīsfāžu patērētāja momentānās jaudas p vidējo vērtību,
t.i., tā aktīvo jaudu P.
Līdzīgi varētu pierādīt, ka šāds vatmetru slēgums pareizi uzrādītu trīsfāžu patērētāja aktīvo jaudu arī
tad, ja patērētājs būtu slēgts trīsstūrī.
Speciālgadījumā, ja patērētājs ir simetrisks (piemēram, trīsfāžu asinhronais dzinējs), ar divu
vatmetru metodi var netieši novērtēt tā jaudas koeficientu cosϕ . 5.15.,b att. parādīta zvaigznē slēgta
simetriska patērētāja vektoru diagramma, kurā uzsvērti tie lielumi (skat. nākošo formulu), kuri ietekmē
vatmetru rādījumus.
Tāpēc patērētāja topogrāfiskajā diagrammā parādīti spriegumu UAB un UCB. Līnijas strāvas IA un IC
vienlaicīgi ir arī fāžu strāvas. TādēĜ diagrammā šo strāvu vektorus atliek attiecībā pret fāžu
spriegumiem, kas simetriska patērētāja gadījumā ir simetriski.
Piemēram, visbiežāk sastopamais simetrisks trīsfāžu patērētājs - asinhronais dzinājs - patērē aktīvo
jaudu, kā arī induktīva rakstura reaktīvo jaudu - magnētiskā lauka radīšanai. Mainot dzinēja noslodzi,
patērētā aktīvā jauda un arī fāžu nobīde mainās plašās robežās. Pirmais vatmetrs, kura strāvas ėēdē
plūst strāva IA, uzrāda šīs strāvas un sprieguma UAB momentāno vērtību reizinājuma vidējo vērtību. Kā
zināms, ja šādi lielumi laikā mainās sinusoidāli, tad vidējā vērtība ir vienāda ar strāvas un sprieguma
efektīvo vērtību reizinājumu un atkarīga no šo sinusoīdu fāžu nobīdes. Tāpēc pirmā vatmetra rādījums
(apzīmēsim to ar W1) ir
W1 = U AB I A cos (U AB , I A ) .
Ja fāžu nobīdes leĦėis ϕ = 60o, tad leĦėis starp vektoriem UAB un IA (α) ir 90o, (punktlīnija 5.15.,b
attēlā), un pirmā vatmetra rādījums vienāds ar nulli. Tātad, ja šī vatmetra uzrādītā aktīvā jauda W1 ir
pozitīva, tas norāda, ka ϕ < 60o (t.i., jaudas koeficients ir lielāks par 0,5). Turpretī, ja patērētājs
darbojas ar zemāku jaudas koeficientu (ϕ > 60o), tad šī vatmetra rādījums ir negatīvs. Uzmanīgi
aplūkojot vektoru diagrammu, redzēsim, ka, mainoties fāžu nobīdei (0 < ϕ < 90o), leĦėis, ko veido
vektori UCB (nevis UBC!) un IB, vienmēr paliek šaurs. Tāpēc otrā vatmetra rādījums vienmēr paliek
pozitīvs.
Trīsfāžu patērētāja aprēėina piemēri
Simetriska trīsfāžu patērētāja aprēėina piemēri
5.1. piemērs.
Dots līnijas spriegums: Ul = 380 V. Simetriska patērētāja fāzes pretestība Z = 20 . Patērētājs ir aktīvi
induktīva rakstura ar fāžu nobīdi ϕ = 30o. Aprēėināt strāvas un patērēto aktīvo jaudu, ja patērētājs slēgts zvaigznē
(shēma: 5.6. att.).
Atrisinājums.
Simetriska patērētāja topogrāfiskajā diagrammā (neatkarīgi no tā, vai neitrāles vads ir vai nav) patērētāja
neitrāle atrodas simetrijas centrā (5.8.,a att.), un visi patērētāja fāžu spriegumi ir vienādi:
U
U
f V
l
= = =
3
380
3
219 4 , .
Simetriska patērētāja visu fāžu strāvas (zvaigznes slēgumā tās ir arī līnijas strāvas) ir vienādas:
I I
U
Z
f l A
f
= = = =
219 4
20
11
,
.
Patērēto aktīvo jaudu aprēėinām saskaĦā ar simetriska trīsfāžu patērētāja jaudas formulu (5.6):
P = 3Ul I l cosϕ = 3 ⋅380⋅11⋅0,866 = 6270W .
5.2. piemērs.
Aprēėināt strāvas un patērēto aktīvo jaudu, ja iepriekšējā piemērā dotais trīsfāžu patērētājs slēgts trīsstūrī
(shēma: 5.13.,a att.). Salīdzināt patērētās jaudas vērtību trīsstūra un zvaigznes slēgumā.
Atrisinājums.
Lai aprēėinātu patērētāja fāzes strāvu, jāuzzina patērētāja fāzes spriegums. Trīsstūra slēgumā tas ir vienāds ar
līnijas spriegumu U:
U f = Ul = 380V .
Patērētāja fāzes strāva tagad ir 1,73 reizes lielāka nekā zvaigznes slēgumā:
I
U
Z
f A
f
= = =
380
20
19 .
Sekojošais rezultāts nozīmē, ka trīsstūrī slēgta simetriska patērētāja gadījumā līnijas strāva ir 3 reizes lielāka
nekā tad, ja šis patērētājs būtu slēgts zvaigznē:
I l = 3 I f = 3 ⋅19 = 33 A .
Simetriskam patērētājam jaudas formula trīsstūra un zvaigznes slēgumam ir viena un tā pati. SaskaĦā ar
uzdevuma noteikumiem līnijas spriegums abos gadījumos ir viens un tas pats. Tātad, patērētāju savienojot trīsstūrī,
jārēėinās ar to, ka ne tikai līnijas strāva, bet arī patērētā jauda P pieaugs 3 reizes:
P = 3Ul I l cosϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 33⋅ 0,866 = 18810W .
Tas nozīmē, ka patērētājam, kas normāli paredzēts darbam zvaigznes slēgumā ar līnijas spriegumu 380 V,
fāzes pie šī sprieguma nedrīkst savienot trīsstūra slēgumā, jo tad tajā izdalīsies 3 reizes lielāka jauda. Tādam
režīmam šis patērētājs, protams, nav piemērots.
5.3 piemērs.
Aprēėināsim iepriekšējos piemēros aplūkotā simetriskā patērētāja režīmu, ja tas slēgts trīsstūrī, bet darbojas ar
pazeminātu spriegumu (tagad U = 220 V).
Atrisinājums.
Patērētāja fāzes spriegums, fāzes strāva un līnijas strāva jaunajos apstākĜos:
U f = Ul = 220V , I
U
Z
f A
f
= = =
220
20
11 , I l = 3 I f = 3 ⋅11 = 19 A .
Salīdzinot šos rezultātus ar iepriekšējā piemērā (patērētājs zvaigznes slēgumā ar 380 V līnijas spriegumu),
redzams, ka patērētāja fāze atrodas tieši tādos pat apstākĜos: fāzes spriegums abos gadījumos ir 220 V, bet fāzes
strāva ir 11 ampēru! Acīmredzot, katras fāzes patērētā jauda šeit būs tāda pati kā iepriekšējā piemērā.
Pārliecināsimies par to, lietojot trīsfāžu simetriska patērētāja jaudas formulu:
P = 3Ul I l cosϕ = 3 ⋅ 220 ⋅19 ⋅ 0,866 = 6270W .
Trīsfāžu maiĦstrāvas patērētājiem ir raksturīgi, ka tie paredzēti normālai darbībai ar divām dažādām
tīkla sprieguma vērtībām. Piemēram, trīsfāžu asinhronā dzinēja pases datos norādītas divas dažādas
līnijas sprieguma vērtības, piemēram, 220/380 V un tiem atbilstošie slēguma veidi: /Y
(trīsstūris/zvaigzne). Tas norāda, ka patērētāja fāzes savieno trīsstūrī, ja līnijas spriegums tīklā ir 220 V
vai zvaigznē, ja līnijas spriegums ir 380 V. Kā redzējām apskatītajos piemēros, patērētāja fāzes abos
gadījumos atrodas vienādos apstākĜos, piemēram, fāžu strāvas abos režīmos ir vienādas (11 A).
Atkarībā no tīkla sprieguma atšėirsies līnijas strāvas. Patērētāja pases datos uzrādītas līnijas strāvas,
mūsu piemēros tas būtu šādi: 19/11 A. Tas rāda, ka trīsstūra slēgumā ar 1,73 reizes zemāku līnijas
spriegumu līnijas strāva ir 1,73 reizes lielāka. Trīsfāžu patērētāja pasē uzrāda arī nominālo aktīvo jaudu
P - tās vērtība attiecas uz darbu pareizā slēgumā ar jebkuru no abām sprieguma vērtībām..
Zvaigznē slēgta nesimetriska patērētāja aprēėina piemēri
Aprēėinot zvaigznē slēgta nesimetriska trīsfāžu patērētāja režīmus, abi iespējamie gadījumi - ar
neitrāles vadu un bez tā - ir ar atšėirīgām grūtības pakāpēm. Atcerēsimies, ka jebkurā gadījumā darbību
secība ir viena un tā pati: patērētāja topogrāfiskā diagramma - fāžu spriegumi tajā - fāžu strāvas -
pārējās strāvas. Realizējot šo plānu, patērētāja fāžu spriegumus ir viegli atrast tikai tad, ja shēmā ir
neitrāles vads.Tad četrvadu sistēmā patērētāja topografiskā diagramma ir tāda pati kā trīsfāžu
ăeneratoram (5.2.,b att.): visi fāžu spriegumi ir skaitliski vienādi un savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o.
Trīsvadu sistēmā turpretī patērētāja topografiskajā diagrammā zināmi tikai 3 punkti, bet patērētāja
neitrāles nobīde no diagrammas simetrijas centra vēl jāatrod. Tikai pēc tam būs iespējams atrast
patērētāja fāžu spriegumus un aprēėināt strāvas. Neitrāles nobīdes atrašana ir pietiekami sarežăīts
uzdevums, tādēĜ šim nolūkam lieto tikai simbolisko metodi.
5.4. piemērs.
5.16. att. parādīts zvaigznē slēgts nesimetrisks patērētājs, kas enerăiju saĦem no trīsfāžu avota pa četrvadu
līniju (līnijas vadi A, B un C; neitrāles vads N). Dots līnijas spriegums U = 220 V. Patērētāja A-fāzē paralēli
savienotas aktīvā un induktīvā pretestība: R1 = 2 , XL = 5 . B-fāzē virknē slēgtas aktīvā un kapacitīvā
pretestība: R2 = 5 , XC1 = 2 . C-fāzē ir kondensators ar kapacitīvo pretestību XC1 = 3 . Aprēėināsim visas
strāvas shēmā, kā arī patērēto aktīvo jaudu.
5.16. att. Nesimetrisks patērētājs četrvadu sistēmā.
Atrisinājums.
Uzdevumu risināsim ar vektoru diagrammu metodi.
1. Patērētāja topogrāfiskā diagramma (5.17.att.) ir tāda pati kā ăeneratoram (5.2.,c att.), jo pārvades līnijai ir
4 vadi, kas patērētājam piegādā visu ăeneratora punktu A, B, C un N potenciālus. Tas nozīmē, ka
patērētāja neitrāles n potenciāls sakrīt ar ăeneratora neitrāles N potenciālu.
2. Patērētāja topogrāfiskajā diagrammā parādām patērētāja fāžu spriegumus. 5.17. att. redzams, ka šeit arī
visu patērētāja fāžu spriegumi (UAn, UBn, UCn) ir tādi paši kā ăeneratora fāžu spriegumi:
U
U
f V
l
= = ≈
3
220
3
127 .
Tagad visu fāžu spriegumi ir zināmi, tāpēc nākošajā risinājuma posmā varēsim risināt trīs atsevišėus
vienfāzes maiĦstrāvas uzdevumus. Trīsfāžu specifika no jauna parādīsies tikai aprēėina nobeigumā -
aprēėinot strāvu neitrāles vadā.
A
C B
UAn
UCn UBn
N,n
5.17.att. 5.18.att. 5.19.att.
3. Atrodam fāžu strāvas un to nobīdes leĦėus attiecībā pret saviem spriegumiem.
a) A-fāzē ir 2 paralēli zari. Ja spriegums uz paralēliem zariem zināms, tad vienmēr aprēėina atsevišėo zaru
strāvas, lai pēc tam tās (korekti!) saskaitītu. Tātad zaru strāvu vērtības:
I
U
X
A A
f
L
1
127
5
= = = 25,4 , I
U
R
A A
f
2
1
127
2
= = = 63,5 .
Ar strāvu (sinusoīdu!) saskaitīšanu jābūt uzmanīgiem. Pareizas formulas (strāvas vērtībai un fāžu nobīdei)
var iegūt tikai no vektoru diagrammas. Formulas izveidošanai zīmē atsevišėu diagrammu A-fāzei, atliekot
tajā fāzes sprieguma vektoru un attiecībā pret to - zaru strāvas vektorus (5.18. att.). A-fāzes strāvas vektors
ir abu zaru strāvu vektoru summa, bet formula būs atkarīga no vektoru virziena. Šajā gadījumā (bet ne
vienmēr!) vektori veido taisnu leĦėi, tāpēc formula būs sekojoša:
I A = I A1 + I A = + = A
2
2
2 25,42 63,52 68,4 .
Vai formula būtu tāda pati, ja šīs fāzes zaros būtu induktīva un kapacitīva pretestība? Ja ne, tad kāda tā
būs?
b) B-fāzē elementi slēgti virknē. Šādā gadījumā slēguma pilno pretestību atrod no pretestību trīsstūra (5.19.
att.):
ZB = R2 + XC = + =
2
1
2 52 22 5,4 .
Pretestību trīsstūrī leĦėis ϕB ir negatīvs, jo reaktīvā pretestība ir kapacitīva. Šī leĦėa skaitlisko vērtību
arī atrod no šī pretestību trīsstūra:
|ϕ B |
C arctg
X
R
= = arctg =
1
2
2
5
22o .
B-fāzes strāvas efektīvā vērtība:
I
U
Z
B A
f
B
= = =
127
5 4
23 6
,
, .
c) C-fāzē ieslēgts kondensators, tāpēc šīs fāzes strāva apsteidz šīs fāzes spriegumu par 90o. Strāvas vērtība:
I
U
X
C A
f
C
= = =
2
127
3
42 3 , .
5.20. att.
Papildinām vektoru diagrammu ar
aprēėināto fāžu strāvu vektoriem (5.20. att.),
ievērojot, kā katrs no tiem nobīdīts fāzē pret
savas fāzes spriegumu. Tā kā diagrammu
lietosim vektoru saskaitīšanai, tad strāvas
vektorus atliekam mērogā.
4. Strāvu neitrāles vadā atrod, izmantojot strāvu
vienādojumu mezglam n (5.3):
I N = I A + I B + I C .
Vienādojumā, protams, nedrīkst ievietot
skaitĜus, jo jāsaskaita taču trīs strāvu
sinusoīdas, un to realizē, summējot vektorus. Ja
diagramma uzzīmēta mērogā, tad neitrāles
strāvu aptuveni var noteikt, izmērot vektora IN
garumu, kam atbilst IN efektīvā vērtība 74
ampēri.
Arī ja vektoru diagramma uzzīmēta aptuveni, var iegūt precīzu neitrāles vada strāvas vērtību
analītiski.
Var izmantot sekojošu ideju. Visu strāvu vektoru virzieni ir zināmi precīzi, jo zināmi fāžu spriegumu
virzieni un visi fāžu nobīdes leĦėi. Izvēlamies diagrammā koordinātu asis - divus savstarpēji
perpendikulārus virzienus. Atrodam visu 3 fāžu strāvu vektoru projekcijas uz vienas no šīm asīm. Saskaitot
(algebriski) šīs projekcijas, iegūstam strāvas IN vektora vienu projekciju. Līdzīgi atrod arī tā otru
projekciju. Abas šīs projekcijas atbilst taisnleĦėa trīsstūra katetēm, tāpēc strāvu IN atrod kā šī trīsstūra
hipotenūzu.
5. Patērēto aktīvo jaudu atradīsim kā visu 3 fāžu aktīvo jaudu summu. Protams, nevietā būtu lietot simetriska
patērētāja aktīvās jaudas formulu (kāpēc ne, un kāpēc vispār to neizdotos pielietot?). Sekojošā aprēėinā
parādīts, ka aktīvo jaudu (to patērē tikai rezistīvie elementi) var aprēėināt arī kā rezistīvā elementa strāvas
un sprieguma (ja tas zināms) reizinājumu vai strāvas kvadrāta reizinājumu ar aktīvo pretestību:
PA =U A I A cosϕ A = U A I A2 = 127 ⋅ 63,5 = 8065W ,
PB =UB I B cosϕ B = R2 I B = ⋅ , ⋅ , = ⋅ , = W
2 127 23 6 0 93 5 23 62 2780 ,
PC =UC IC cosϕ C = 127 ⋅ 42,3 ⋅ 0 = 0W ,
P = PA + PB + PC = 8065 + 2780 + 0 = 10845W .
Nav komentāru:
Ierakstīt komentāru